Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC. Các đường cao AD và BE (D thuộc BC, E thuộc CA) cắt nhau
tại trực tâm H.
1) Chứng minh rằng hai tam giác DAC và EBC đồng dạng với nhau.
2) Chứng minh rằng 4BH - BE = BD và BD-BC+AE.AC = AB.
3) Biết ABC >45°, lấy điểm P nằm giữa A và D sao cho DP > DB. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BP, cắt AD ở K. Chứng minh rằng AEP = KEB.
1: Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có
\(\widehat{DCA}\) chung
Do đó: ΔCDA~ΔCEB
2: Xét ΔABC có
BE,AD là các đường cao
BE cắt AD tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>CH\(\perp\)AB tại K
Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAKC vuông tại K có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAKC
=>\(\dfrac{AE}{AK}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AB\cdot AK\)
ΔABC cân tại A
mà AD là đường cao
nên D là trung điểm của BC
Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
\(\widehat{DBH}\) chung
Do đó: ΔBDH~ΔBEC
=>\(\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)
=>\(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)
=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BD\cdot2=2BD^2\)
=>\(4\cdot BH\cdot BE=8\cdot BD^2\)
Xét ΔBKC vuông tại K và ΔBDA vuông tại D có
\(\widehat{KBC}\) chung
Do đó: ΔBKC~ΔBDA
=>\(\dfrac{BK}{BD}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(BC\cdot BD=BK\cdot BA\)
\(BD\cdot BC+AE\cdot AC\)
\(=BK\cdot BA+AK\cdot AB\)
\(=AB\cdot\left(BK+AK\right)=BA^2\)
