Question

 

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.  a) Chứng minh:  AF . AB = AE . AC  và  ˆ AEF = ˆ ABC b) Chứng minh: FH là tia phân giác của góc  ˆ DFE

Answer 1

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{EAF}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BDHF có \(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BDHF là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF nội tiếp)

\(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(BDHF nội tiếp)

mà \(\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)

=>FH là phân giác của góc EFD