Question

cho tam giác ABC nhọn, các đường cáo AA', BB',  CC', H là trực tâm.

a/ tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

b/ gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM; IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB, chứng minh rằng: AN.BI.CM=BN.IC.AM

Answer 1

b)Do AI là phân giác

=>\(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{AC}\)

Do IN là phân giác=>\(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

Do IM là phân giác

=>\(\frac{CM}{AM}=\frac{CI}{AI}\)

=>\(\frac{BI}{CI}\cdot\frac{AN}{BN}\cdot\frac{CM}{AM}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AI}{BI}\cdot\frac{CI}{AI}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CI}{BI}=1\)

=>AN.BI.CM=BN.IC.AM

Answer 2

A=(\frac{m-1}{1}+...+\frac{m-(m-1)}{m-1}+\frac{m-m}{m})+(\frac{1}{m-1}+\frac{2}{m-2}+...+\frac{m-2}{2}+\frac{m-1}{1})

Answer 3

a/ Ta có: 

\(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.HA'.BC}{\frac{1}{2}.AA'.BC}=\frac{HA'}{AA'}\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}\left(2\right)\\\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=1\)