Question

Cho tam giác ABC nhọn. AH là đường cảo. Vẽ ra phía ngoài ∆ABC tam giác ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC. Chứng minh rằng:

a) ∆DBC=∆BAK .

b) DC ┴ KB.

c) CD, KH và EB đồng quy tại một điểm

Answer 1

Trả lời:

a, Vì ^KAB là góc ngoài của tg ABH

=> ^KAB = ^ABH + ^AHB ( tc )

hay ^KAB = ^ABH + 90^o     (1)

Ta có: ^DBC = ^ABH + ^ABD = ^ABH + 90^o  (2)

Từ (1) và (2) => ^KAB = ^DBC 

Xét tg DBC và tg BAK có:

BD = BA ( tg ABD vuông cân tại B )

BC = KA (gt)

^DBC = ^KAB (cmt)

=> tg DBC = tg BAK (cgc)

Answer 2

Trả lời:

b, Gọi M là giao điểm của KC và BE 

Vì ^KAC là góc ngoài của tg AHC

=> ^KAC = ^ACH + ^AHC   (tc)

hay ^KAC = ^ACH + 90^o   (3)

Ta có: ^BCE = ^ACH + ^ACE = ^ACH + 90^o  (4)

Từ (3) và (4) => ^KAC = ^BCE

Xét tg KAC và tg BCE có:

KA = BC ( gt )

^KAC = ^BCE ( cmt )

AC = CE ( tg ACE vuông cân tại C )

=> tg KAC = gt BCE ( c - g - c )

=> ^AKC = ^CBE ( 2 góc tương ứng )

=> ^AKC + ^KCB = ^CBE + ^KCB 

Mà tg KHC vuông tại H có: ^AKC +^KCB = 90^o (tc)

=> ^CBE + ^KCB = 90^o

=> tg MBC vuông tại M (tc)

=> KC \(\perp\)BE ( đpcm )

c, Gọi N là giao điểm của KB và DC

Vì tg DBC = tg BAK ( chứng minh ở ý a )

=> ^DCB = ^AKB ( 2 góc tương ứng )

=> ^DCB + ^KBC = ^AKB + ^KBC 

Mà tg KBH vuông tại H có: ^AKB + ^KBC = 90^o (tc)

=> ^DCB = ^KBC = 90^o 

=> tg NBC vuông tại N (tc)

=> KB \(\perp\)DC

Xét KBC có: 

CD là đường cao thứ nhất ( CD \(\perp\)KB )

KH là đường cao thứ hai ( KH \(\perp\)BC )

BE là đường cao thứ ba ( BE \(\perp\)KC )

=> CD, KH, BE đồng quy ( tc )  ( đpcm ).