Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH , nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu B,C len đường kính AD của đường tròn O và M,N thứ tự là trung điểm cảu BC và AB.Chứng minh:
a)Bốn điểm A;B;H;E đều nằm treen đường tròn tâm N và HE//CD
b)M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF
a: Xét tứ giác ABHE có
\(\widehat{AEB}=\widehat{AHB}=90^0\)
=>AEHB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB
=>A,E,H,B cùng thuộc (N)
Ta có: AEHB là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BAE}+\widehat{BHE}=180^0\)
mà \(\widehat{BHE}+\widehat{EHC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nen \(\widehat{EHC}=\widehat{BAE}\)
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{EHC}\left(1\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EHC}=\widehat{BCD}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên HE//CD
b: Gọi K là trung điểm của EC, Gọi I là giao điểm của MC và ED
Xét ΔBCE có
M,K lần lượt là trung điểm của BC,EC
=>MK là đường trung bình của ΔBEC
=>MK//BE
mà BE\(\perp\)AD
nên MK\(\perp\)AD
=>MK\(\perp\)ED
Ta có: MK\(\perp\)AD
CF\(\perp\)AD
Do đó: MK//CF
=>KI//CF
Xét ΔECF có
K là trung điểm của EC
KI//CF
Do đó: I là trung điểm của FE
mà MK\(\perp\)EF tại I
nên MK là đường trung bình của EF
=>ME=MF
Xét ΔABC có
N,M lần lượt là trung điểm của BA,BC
=>NM là đường trung bình của ΔACB
=>NM//AC và NM=AC/2
NM//AC
HE\(\perp\)AC
Do đó: MN\(\perp\)HE
Xét (N) có
NM là một phần đường kính
HE là dây
HE vuông góc với MN
Do đó: NM là trung trực của HE
=>MH=ME
=>MH=ME=MF
=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔHEF
