Question

Cho tam giác ABC. K là trung điểm của BC.

AM vuông góc với AC và AM = AC; AN vuông góc với AB và AN = AB (M và B thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC; N và C thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB)

Trên tia AK lấy điểm P sao cho K là trung điểm của AP.

Chứng minh:

a, AC // BP

b, Tam giác ABP = tam giác NAM

c, AK vuông góc với MN

Answer 1

a) Xet tam giac BKP va tam giac AKC ta co

AK=KP ( K la trung diem AP)

BK=KC( K la trung diem BC)

goc AKB= goc PKC ( 2 goc doi dinh)

--> tam giac BKP= tam giac AKC ( c-g-c)

--> goc KBP=goc KCA ( 2 goc tuong ung)

ma 2 goc nam o vi tri so le trong nen AC//BP

b) ta co:

goc NAM + goc BAC + goc MAC+ goc NAB=360

goc NAM + goc BAC +90 +90 =360

goc NAM + goc BAC =180

ma goc ABP + goc BAC =180 ( 2 goc trong cung phia va AC//BP)

nen goc NAM = goc ABP

ta co : AC= BP ( tam giac AKC = tam giac BKP)

          AC = AM (gt)

--> BP =AM

Xet tam giac NAM va tam giac ABP ta co

goc NAM = goc ABP (cmt)

AN= AB( gt)

AM= BP (cmt)

--> tam giac NAM = tam giac ABP (c-g-c)

c) Keo dai KA cat NM tai H

ta co

goc HMA= goc APB ( tam giac NAM = tam giac ABP)

goc APB= goc PAC ( 2 goc so le trong va AC//BP)

---> goc HMA = goc APB

ta co:

goc HAM+ goc MAC+ goc CAP=180

goc HAM + 90 + goc CAP=180

goc HAM+ goc CAP =90

ma goc CAP = goc AMH ( cmt)

nen goc HAM+ goc AMH =90

Xet tam giac HAM  ta co

goc HAM+ goc AMH + goc AHM =180 ( tong 3 goc trong tam giac )

90+ goc AHM=180

goc AHM =90

--> AK vuong goc MN tai H