Question

Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của A trên 2 đường phân giác trong và ngoài của góc B và C. Cmr

a) Các tứ giác AMBN, ACPQ là hình chữ nhật

b) M, N, P, Q, E, F thẳng hàng

Answer 1

a/ Vì BM và CQ lần lượt là tia phân giác ngoài của các tia phân giác trong góc B,C nên góc MBN = góc PCQ = 90 độ

Xét tam giác AEN và tam giác BEM có AE = EB ; góc BEM = góc AEN (đối đỉnh) , góc MBE = góc EAN (cùng phụ góc ABN)

=> Tam giác AEN = tam giác BEM (c.g.c) => EM = EN 

Suy ra AMBN là hình bình hành vì tứ giác này có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà có một góc bằng 90 độ => AMBN là hình chữ nhật

Chứng minh tương tự với tứ giác APCQ

b/ Dễ dàng chứng minh được EF là đường trung bình tam giác ABC => EF // BC (1)

Vì AMBN là hình chữ nhật mà E là giao điểm của hai đường chéo nên M,E,N thẳng hàng (2)

Tương tự APCQ là hình chữ nhật nên P,F,Q thẳng hàng (3)

Theo tính chất hình chữ nhật thì góc ENB góc EBN = góc NBC => MN // BC (4)

Tương tự, ta có PQ // BC (5)

Từ (1) , (2) , (3) , (4) , (5) suy ra M,N,P,Q,E,F thẳng hàng. (Áp dụng tiên đề Ơ-clit)

Answer 2

jygvk

Answer 3

M,N,P,Q,E,F thẳng hàng