*Bổ sung: H là trực tâm, BC không thay đổi.
*Ơ bài này hay nhỉ :))? \(AD.HD=BD.CD\) là phải đi chứng minh chứ ai mà cho sẵn điều kiện này??
- Có: E,F thuộc đường tròn đường kính BC.
\(\Rightarrow CE\perp BE\) tại E, \(BF\perp CF\) tại F.
\(\Rightarrow\)AD, BF, CE đồng quy tại trực tâm H.
ΔBDH và ΔADC: \(\widehat{BDH}=\widehat{ADC}=90^0;\widehat{HBD}=\widehat{CAD}\) (cùng phụ \(\widehat{BCF}\))
\(\Rightarrow\)ΔBDH∼ΔADC (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}\Rightarrow HD.AD=BD.CD\)
- Áp dụng Caushy: \(BD.CD\le\dfrac{\left(BD+CD\right)^2}{4}=\dfrac{BC^2}{4}\)
\(\Rightarrow HD.AD\le\dfrac{BC^2}{4}\) không đổi.
- Dấu "=" xảy ra khi D là trung điểm BC hay ΔABC cân tại A.
- Vậy khi A nằm trên đường trung trực của BC thì \(AD.HD\) đạt GTLN.
