Question

Cho tam giác ABC đều. Lấy các điểm D,E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB,BC,AC sao cho AD=BE=CF. Chứng minh rằng tam giác DEF đều.

Answer 1

Xét ΔABCΔABC là tam giác đều (gt)

=> {ABCˆ=ACBˆ=BACˆAB=AC=BC{ABC^=ACB^=BAC^AB=AC=BC (tính chất tam giác đều)

Có : ⎧⎩⎨⎪⎪D∈ABE∈BCF∈AC{D∈ABE∈BCF∈AC (gt)

=> ⎧⎩⎨⎪⎪AB=AD+BDAC=CF+CFBC=BE+CE{AB=AD+BDAC=CF+CFBC=BE+CE

Mà : {AD=BE=CFAB=AC=BC{AD=BE=CFAB=AC=BC (cmt)

=> BD=AF=CEBD=AF=CE

Xét ΔADF;ΔBEDΔADF;ΔBED có :

AF=BD(cmt)AF=BD(cmt)

DAFˆ=EBDˆDAF^=EBD^ (gt)

AD=BE(cmt)AD=BE(cmt)

=> ΔADF=ΔBED(c.g.c)ΔADF=ΔBED(c.g.c)

=> DF=DEDF=DE (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔADF;ΔCEFΔADF;ΔCEF có :

AF=EC(cmt)AF=EC(cmt)

DAFˆ=FCEˆDAF^=FCE^ (tam giác ABC đều - gt)

DA=FC(cmt)DA=FC(cmt)

=> ΔADF=ΔCEF(c.g.c)ΔADF=ΔCEF(c.g.c)

=> DF=EFDF=EF ( 2 cạnh tương ứng) (2)

- Từ (1) và (2) => DF=DE=EFDF=DE=EF

Xét ΔDEFΔDEF có :

DF=DE=EFDF=DE=EF (cmt)

=> ΔDEFΔDEF là tam giác đều (đpcm)