Question

Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng bốn điểm A,D,H,E cùng nằm trên một đường tròn

b) Gọi M là tđ của BC.Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn

Answer 1

 

Giải thích các bước giải:

a. Gọi OO là trung điểm AHAH

Xét tam giác AEHAEH vuông tại HH: OO là trung điểm AH⇒AO=OH=OEAH⇒AO=OH=OE

Chứng minh tương tự ⇒AO=OH=OD⇒AO=OH=OD

⇒OA=OH=OD=OE⇒OA=OH=OD=OE

Vậy A,D,H,E∈(O)A,D,H,E∈(O) với OO là trung điểm AHAH

b. Có: BD∪CE=H⇒HBD∪CE=H⇒H là trực tâm tam giác ABCABC

⇒AH⊥BC⇒AH⊥BC

Mà: CE⊥ABCE⊥AB

⇒ˆEAH=ˆECB(1)⇒EAH^=ECB^(1) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Có: OA=OE⇒OA=OE⇒ tam giác AOEAOE cân tại OO

⇒ˆAEO=ˆEAO(2)⇒AEO^=EAO^(2)

Chứng minh tương tự ⇒⇒ tam giác EMCEMC cân tại MM

⇒ˆECM=ˆCEM(3)⇒ECM^=CEM^(3)

(1);(2);(3)⇒ˆAEO=ˆCEM(1);(2);(3)⇒AEO^=CEM^

Mà: ˆAEO+ˆOEC=ˆAEC=90∘AEO^+OEC^=AEC^=90∘

⇒ˆOEC+ˆCEM=ˆOEM=90∘⇒OEC^+CEM^=OEM^=90∘

⇒EM⇒EM là tiếp tuyển của (O)(O) 

Answer 2