Question

Cho tam giác ABC có diện tích là 1. Gọi a,b,c và h_a,h_b,h_c tương ứng là độ dài cạnh và các đường cao của tam giác ABC. 

CMR: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\)\(\ge36\)

Dấu = xảy ra khi nào?

Answer 1

Tử số cũng biến thiên theo ha, hb, hc ...Suy luận được như trên chỉ khi Tử số là một số A không đổi. 

Gọi S là diện tích tam giác, r là bánh kính đường tròn nội tiếp 

Ta có 

ha=2S/a =r(a+b+c)/a 

=> ha^2 + hb^2 + hc^2 = r^2(a+b+c)^2 * (1/a^2+1/b^2+1/c^2)} 

=> T = (a+b+c)^2/(ha^2+hb^2+hc^2) = 

=1/r^2/(1/a^2+1/b^2+1/c^2) 

Ta c/m (1/a^2+1/b^2+1/c^2) <=1/4r^2 (*) 

=> T<=1/4 

=> Max(T) = 1/4 Khi tam giác đều 

c/m bất đẳng thức (*) 

S = pr 

S= √p(p-a)(p-b)(p-c) 

=> pr= √p(p-a)(p-b)(p-c) 

=> (pr^2) = (p-a)(p-b)(p-c) 

=> 1/r^2 = p/(p-a)(p-b)(p-c) = 1/((p-a)(p-b) + 1/(p-b)(p-c) + 1/(p-a)(p-c) 

=> 1/4r^2 = 1/[a^2 - (b-c)^2] + 1/[b^2 - (a-c)^2] + 1/[c^2 - (b-a)^2] >= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 

=> 1/4r^2>= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 

=> (1/r^2)/ 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= 1/4

=> Dấu bằng xảy ra khi ha = hb = hc => Khi đó ABC là tam giác đều