Sửa đề câu a thành tính độ dài AE, CE
a, Vì BE là phân giác của ABC
\(\Rightarrow\frac{EC}{BC}=\frac{AE}{AB}\)\(\Rightarrow\frac{EC}{4}=\frac{AE}{7}=\frac{EC+AE}{4+7}=\frac{AC}{11}=\frac{6}{11}\)(Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó: \(\frac{EC}{4}=\frac{6}{11}\)\(\Rightarrow EC=\frac{4.6}{11}=\frac{24}{11}\) ; \(\frac{AE}{7}=\frac{6}{11}\)\(\Rightarrow AE=\frac{6.7}{11}=\frac{42}{11}\)
b, Xét △ABH vuông tại H và △CBF vuông tại F
Có: ABH = CBF (gt)
=> △ABH ᔕ △CBF (g.g)
\(\Rightarrow\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BF}\)\(\Rightarrow AB.BF=BH.BC\)
c, Gọi DF ∩ BC = { K } ; CF ∩ AB = { I } ; GE ∩ DF = { O }
Xét △BIC có BF vừa là đường cao vừa là đường phân giác
=> △BIC cân tại B
=> BI = BC
và IF = FC
mà AD = DC
=> DF là đường trung bình của △CAI
=> DF // AI và 2FD = AI
=> DF // AB
=> DK // AB
Xét △ABC có: DK // AB và AD = DC (gt)
=> DK là đường trung bình của △ABC
=> K là trung điểm của BC
=> BK = KC
Vì DF // AB (cmt)
\(\Rightarrow\frac{BG}{GD}=\frac{BI}{DF}\)(định lý Thales) \(\Rightarrow\frac{BG}{GD}=\frac{2BI}{2DF}\)\(\Rightarrow\frac{BG}{GD}=\frac{2BI}{AI}\) (1)\(\Rightarrow\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DF}\) (Hệ quả định lý Thales)Ta có: \(\frac{CE}{DE}=\frac{DC-DE}{DE}=\frac{DC}{DE}-1=\frac{AD}{DE}-1=\frac{AE-DE}{DE}-1=\frac{AE}{DE}-1-1=\frac{AB}{DF}-2\)
\(=\frac{AB}{DF}-2=\frac{2\left(AI+BI\right)}{2DF}-2=\frac{2AI+2BI}{AI}-2=\frac{2AI+2BI-2AI}{AI}=\frac{2BI}{AI}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{BG}{GD}=\frac{CE}{DE}\)\(\Rightarrow GE//BC\)
\(\Rightarrow\frac{GO}{KC}=\frac{OF}{FK}\) (Hệ quả định lý Thales)\(\Rightarrow\frac{OE}{BK}=\frac{OF}{FK}\) (Hệ quả định lý Thales)\(\Rightarrow\frac{GO}{KC}=\frac{OE}{BK}\)
Mà KC = BK
=> GO = OE
=> O là trung điểm của GE
Mà GE ∩ DF = { O }
=> DF đi qua trung điểm của EG
