Question

Cho tam giác ABC có AB=5cm, AC=6cm, BC=7cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, Olà giao điểm của hai đường phân giác BD, AE

a) Tính độ dài đoạn thẳng AD

b) Chứng minh OG//AC

Answer 1

a/ Gọi AM, BN là hai đường trung tuyến của tg ABC (M thuộc BC; N thuộc AC), giao của AM và BN là G

Theo tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy

\(\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac{AD+CD}{AB+BC}=\frac{AC}{AB+BC}=\frac{6}{5+7}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{5}=\frac{1}{2}\Rightarrow AD=2,5cm\)

b/ Xét tg ABD có

\(\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{AB}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác) (1)

Ta lại có G là trọng tâm của tg ABC nên

\(\frac{GN}{BN}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{GN}{GB}=\frac{1}{2}\) (2)

Xét tg BDN, từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{OD}{OB}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{2}\) => OG//DN (Định lý talet đảo trong tam giác)

Mà DN thuộc AC => OG//AC (dpcm)