Question

cho tam giác ABC có AB = AC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D.

a> chứng minh tam gisc ABD = ACD và AD vuông với BC

b> Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt CA tại E. chứng minh goscAEB = ABE

c> Kẻ AK vuông góc với BE ( K thuộc BE) chứng minhAK = 1/2 BC 

Answer 1

+ Xét \(\Delta ABD;\Delta ACD\)có : 

AB = AC (gt)

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)( AD là p/g góc A)

AD cạnh chung

=> \(\Delta ABD=\Delta ACD\)(c-g-c)

=> \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)( hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^o\)( kề bù)

=> \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\frac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow AD\perp BC\)

+ Vì AD _|_ BC tại D

       EB _|_ BC tại B               => AD // EB ( q/h vuông góc và song song)

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{AEB}=\widehat{CAD}\\\widehat{ABE}=\widehat{BAD}\end{cases}}\)

Mà \(\widehat{CAD}=\widehat{BAD}\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{ABE}\)

+ Vì \(\Delta ABD=\Delta ACD\Rightarrow BD=CD\)(2 cạnh t/ứng)

Mà D thuộc BC => BD = 1/2 BC (1)

+ Xét \(\Delta AKB;\Delta BDA\)có :

\(\widehat{K}=\widehat{D}=90^o\left(AK\perp BE;AD\perp BC\right)\)

AB là cạnh chung

\(\widehat{KBA}=\widehat{DAB}\)( so le trong, AD // BE)

=> \(\Delta AKB=\Delta BDA\)( cạnh huyền-góc nhọn)

=> AK = BD ( 2 cạnh t/ứng) (2)

Từ (1),(2) => đpcm