Question

Cho tam giác ABC cân tại B, hai trung tuyến AM và CN cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) tam giác ANC = tam giác CMA

b) tam giác AIC cân tại I

c) AC < 2AI
d) Kẻ BH ⊥ AC. Chứng minh B, H, I thẳng hàng

e) tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tam giác HMN đều?

giúp mk câu c, d và e vs

Answer 1

a , Ta có : \(\Delta ABC\)cân tại B => BA = BC 

Vì AM là đường trung tuyến của BC = > BM = MC 

VÌ CN là đường trung tuyến của BA = >  BN = NA

 Ta có : BN + NA = BA

            BM + MC = BC

Mà BM = MC ; BN = NA => BM = MC = BN = NA

Xét \(\Delta ANC\)với \(\Delta CMA\) có :

 NA = MC ( CMt )

\(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)( \(\Delta ABC\)cân tại B )

CA chung

=> \(\Delta ANC\)= ​\(\Delta CMA\)​​( c . g . g )

= > CN = MA ( 2 cạnh tương ứng )

b , Xét \(\Delta BMA\)và \(\Delta BCN\)có :

BA = BC ( \(\Delta ABC\)cân tại B )

\(\widehat{B}\)chung

BN = BM ( Cmt )

=> \(\Delta BMA\) = \(\Delta BCN\) ( c . g . c )

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{BCN}\)( 2 góc tương ứng )

Ta có : \(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}\)

           \(\widehat{BCM}+\widehat{NCA}=\widehat{BCA}\)

Mà \(\widehat{BAM}=\widehat{BCN}\)

       \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)

=> \(\widehat{MAC}=\widehat{NCA}\)

=> \(\Delta IAC\)cân tại I

c , Theo bất đẳng thức tam giác ta có : 

AI + IC > AC

Mà AI = IC ( \(\Delta IAC\)cân tại I )

=> 2AI > AC

hay AC < 2AI

d , Vì \(BH\perp AC\)=> BH là đường cao của \(\Delta ABC\)

Theo tính chất đường cao => BH vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến , đường phân giác , đường trung trực của \(\Delta ABC\)

Vì hai trung tuyến AM và CN cắt nhau tại I ​=> I là trọng tâm của ​\(\Delta ABC\)​(1)

mà BH là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)(2)

Từ (1) và (2) => 3 điểm B , I , H thẳng hàng .

d , Tớ cũng chju rồi :>