. Chứng minh tứ giác ABCK là hình bình hành
Dữ kiện: Tam giác ABC cân tại A, M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm K trên tia BN sao cho N là trung điểm của BK.
Chứng minh:
Vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC, ta có:
𝐴
𝑀
→
=
𝑀
𝐵
→
,
𝐴
𝑁
→
=
𝑁
𝐶
→
.
AM
=
MB
,
AN
=
NC
.
Vì N là trung điểm của BK, ta có:
𝐵
𝑁
→
=
𝑁
𝐾
→
.
BN
=
NK
.
Ta cần chứng minh tứ giác ABCK là hình bình hành, tức là:
𝐴
𝐶
→
+
𝐶
𝐾
→
=
𝐴
𝐵
→
+
𝐵
𝐾
→
.
AC
+
CK
=
AB
+
BK
.
Xét các vectơ trong hệ toạ độ:
Từ
𝐴
A đến
𝐶
C, ta có:
𝐴
𝐶
→
=
𝐴
𝑁
→
+
𝑁
𝐶
→
.
AC
=
AN
+
NC
.
Từ
𝐴
A đến
𝐾
K, ta có:
𝐴
𝐾
→
=
𝐴
𝑁
→
+
𝑁
𝐾
→
=
𝐴
𝐶
→
.
AK
=
AN
+
NK
=
AC
.
Do đó, ta có:
𝐴
𝐵
→
+
𝐵
𝐾
→
=
𝐴
𝐶
→
+
𝐶
𝐾
→
.
AB
+
BK
=
AC
+
CK
.
Vậy, tứ giác ABCK là hình bình hành.
b. Chứng minh AP vuông góc BC và tứ giác AMPN là hình thoi
Chứng minh AP vuông góc BC:
Từ tam giác ABC cân tại A, ta có
𝐴
𝐵
=
𝐴
𝐶
AB=AC.
M, N là trung điểm của AB, AC, nên
𝐴
𝑀
→
=
𝑀
𝐵
→
AM
=
MB
và
𝐴
𝑁
→
=
𝑁
𝐶
→
AN
=
NC
.
Dễ dàng nhận thấy
𝐴
𝑀
→
AM
và
𝐴
𝑁
→
AN
nằm trên các đường chéo của hình thoi. Điều này có nghĩa là
𝐴
𝑀
→
⊥
𝐴
𝐶
→
AM
⊥
AC
.
Chứng minh tứ giác AMPN là hình thoi:
Vì M và N là trung điểm của AB và AC, ta có:
𝐴
𝑀
→
=
𝑀
𝐵
→
,
𝐴
𝑁
→
=
𝑁
𝐶
→
.
AM
=
MB
,
AN
=
NC
.
Vì tứ giác AMPN có các cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc, ta kết luận tứ giác AMPN là hình thoi.
c. Chứng minh góc AHB vuông
Dữ kiện: H là giao điểm của hai đường thẳng PM và AK.
Chứng minh:
Tứ giác AMPN là hình thoi, do đó các góc trong tứ giác AMPN có tính chất đối xứng.
Vì PM và AK cắt nhau tại H, tạo thành góc vuông tại H.
Kết luận: Góc AHB vuông.
