Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.

Answer 1

Gọi giao điểm của BG với AC là M ;

CG với AB là N

Vì G là trọng tâm của  \(\Delta ABC\)

nên BM, CN, là trung tuyến

Mặt khác \(\Delta ABC\)  cân tại A

Nên BM = CN 

Ta có : \(GB=\frac{1}{2}BM;GC=\frac{2}{3}CN\)  (t/c trọng tâm của tam giác)

Mà  BM = CN nên GB = GC

Do đó : \(\Delta AGB=\Delta AGC\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\Rightarrow G\) thuộc phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Mà \(\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\Rightarrow I\) thuộc phân giác của  \(\widehat{BAC}\)

Vì G, I cùng thuộc phân giác của  \(\widehat{BAC}\) nên A, G, I  thẳng hàng

Chúc bạn học tốt !!!