Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh AC. Trên BD lấy E cho \(\widehat{DAE}=\widehat{ABD}\). Chứng minh rằng: \(\widehat{EBC}=\widehat{ECA}\)

 

Answer 1

 

 

Kẻ AF và CG cùng vuông góc với BD, CH vuông góc với AE.

Xét tam giác ABF và tam giác CAH có:

AFB=CHA=90

AB=CA (vì tam giác abc cân tại A)

ABF=CAH (gt)

=>Tam giác ABF=Tam giác CAH (ch-gn)

=>AF=CH (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác ADF và tam giác CDG có:

AFD=CGD=90

AD=CD (vì D là trung điểm của AC)

ADF=CDG (2 góc đối đỉnh)

=>Tam giác ADF=Tam giác CDG (ch-gn)

=>AF=CG (Hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CH=CG

Xét tam giác CEH và tam giác CEG có:

CH=CG (cmt)

CHE=CGE=90

EC cạnh chung

=>Tam giác CEH=Tam giác CEG (ch-cgv)

=>CEH=CEG (hai góc tương ứng)

Mà CEH là góc ngoài đỉnh E của tam giác AEC

      CEG là góc ngoài đỉnh E của tam giác BEC

=>CEH=ECA+EAC và CEG=EBC+ECB

=>ECA+EAC=EBC+ECB (vì CEH+CEG cmt)

=>ECA+EBA=EBC+ECB (vì DAE=ABD) (1)

Lại có: Tam giác ABC cân tại A  =>ACB=ABC

=>ECA+ECB=EBC+EBA (2)

Cộng vế theo vế đẳng thức (1) và (2), ta được:

ECA+EBA+ECA+ECB=EBC+ECB+EBC+EBA

=>2ECA+EBA+ECB=2EBC+ECB+EBA

=>2ECA=2EBC

=>ECA=EBC (ĐPCM)