Question

cho tam giác ABC cân tại A: góc A<90* ; Đường cao BD, gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC,BM,BD . Tia NI cắt các cạnh AC tại K . Chứng minh các tứ giác ABMD , ABNK nội tiếp và 3BC^2=4.CA.CK

Answer 1

+) Do tam giác ABC cân tại A, có AM là trung tuyến nên đồng thời là đường cao, hay \(\widehat{AMB}=90^o\)

Hai tam giác vuông ADB và AMB có chung cạnh huyền AB nên tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AB.

+) Xét tam giác BMD có N và I lần lượt là trung điểm của BM và BD nên NI là đường trung bình của tam giác. Vậy nên NI // MD. Suy ra \(\widehat{KNC}=\widehat{DMC}\)  (Hai góc đồng vị)

Mà do tứ giác ABMD nội tiếp nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DMC}\) nên \(\widehat{KNC}=\widehat{DAB}\)

Vậy thì tứ giác ABNK nội tiếp.

+) Xét tam giác CKN có MD // NK nên áp dụng định lý Ta let ta có:

\(\frac{DC}{CK}=\frac{MC}{CN}=\frac{2}{3}\)

Xét tam giác MDC và ABC có: góc C chung, \(\widehat{CAB}=\widehat{CMD}\) nên \(\Delta ABC\sim\Delta MDC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{DC}{BC}=\frac{MC}{AC}\Rightarrow DC.AC=BC.MC\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}AC.CK=\frac{1}{2}BC^2\Rightarrow4AC.CK=3BC^2\)

Answer 2

cảm ơn cô nhiều, cô làm bài ấy hay thật