Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H thuộc BC).
a) Chứng minh △AHB=△AHC.
b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. Chứng minh AD=DH.
c) Gọi E là trung điểm AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh B,G, E thẳng hàng.
d) Chứng minh chu vi △ABC > AH+3BG.
Câu d cô mình bổ sung thêm là : Trên tia Be lấy điểm K sao cho E là trung điểm của BK . Chứng minh : chu vi △ABC > AH+3BG.
a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
b) Ta có: ΔAHB=ΔAHC(cmt)
⇒\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{DAH}=\widehat{CAH}\)
mà \(\widehat{DHA}=\widehat{CAH}\)(so le trong, DH//AC)
nên \(\widehat{DAH}=\widehat{DHA}\)
Xét ΔDHA có \(\widehat{DAH}=\widehat{DHA}\)(cmt)
nên ΔDHA cân tại D(định lí đảo của tam giác cân)
hay DA=DH(đpcm)(1)
c) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy)
hay \(\widehat{DBH}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{DHB}=\widehat{ACB}\)(hai góc đồng vị, DH//AC)
nên \(\widehat{DBH}=\widehat{DHB}\)
Xét ΔDHB có \(\widehat{DBH}=\widehat{DHB}\)(cmt)
nên ΔDHB cân tại D(định lí đảo của tam giác cân)
hay DB=DH(2)
Từ (1) và (2) suy ra DB=DA
mà A,B,D thẳng hàng(DH\(\cap\)AB={D})
nên D là trung điểm của AB
Ta có: ΔAHB=ΔAHC(cmt)
⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)
mà B,H,C thẳng hàng(H∈BC)
nên H là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(H là trung điểm của BC)
CD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(D là trung điểm của AB)
AH\(\cap\)CD={G}
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(định lí ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒BG là đường trung tuyến ứng với cạnh AC
mà BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(E là trung điểm của AC)
và BG và BE có điểm chung là B
nên B,G,E thẳng hàng(đpcm)
