Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH (H thuộc BC)
a) Chứng minh: H là trung điểm BC và hai góc BAH và HAC bằng nhau
b) Kẻ HM vuống góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh: tam giác AMN cân tại A
c) Vẽ điểm P sao cho điểm H là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh: Đường thẳng BC là trung trực của đoạn MP.
d) MP cắt BC tại điểm K. NK cắt MH tại điểm D. Chứng minh: Ba đường thẳng AH, MN, DP cùng đi qua một điểm
Cm: a) Xét t/giác ABH và t/giác ACH
có AB = AC (gt)
góc AHB = góc AHC = 900 (gt)
AH : chung
=> t/giác ABH = t/giác ACH (ch - cgn)
=> góc BAH = góc HAC (hai góc tương ứng) (Đpcm)
=> BH = CH (hai cạnh tương ứng)
=> H là trung điểm của BC
b) Xét t/giác AMH và t/giác ANH
có góc AMH = góc ANH = 900 (gt)
AH : chung
góc MAH = góc NAH (Cmt)
=> t/giác AMH = t/giác ANH (ch - gn)
=> AM = AN (hai cạnh tương ứng)
=> T/giác AMN là t/giác cân tại A
c) Gọi I là giao điểm của BC và MP
Ta có: T/giác AMH = t/giác ANH (Cmt)
=> MH = HN (hai cạnh tương ứng)
Mà HN = PH (gt)
=> MH = PH
Ta lại có: góc AHM + góc MHB = 900 (phụ nhau)
góc AHN + góc NHC = 900 (phụ nhau)
Và góc AHM = góc AHN (vì t/giác AHM = t/giác AHN)
=> góc MHB = góc NHC
Mà góc NHC = góc BHP
=> góc MHB = góc BHP
Xét t/giác MHI và t/giác PHI
có MH = PH (cmt)
góc MHI = góc IHP (cmt)
HI : chung
=> t/giác MHI = t/giác PHI (c.g.c)
=> MI = PI (hai cạnh tương ứng) => I là trung điểm của MP (1)
=> góc MIH = góc HIP (hai góc tương ứng)
Mà góc MIH + góc HIP = 1800
=> 2.góc MIH = 1800
=> góc MIH = 1800 : 2
=> góc MIH = 900
=> HI \(\perp\)MP (2)
Từ (1) và (2) suy ra HI là đường trung trực của đoạn thẳng MP
hay BC là đường trung trực của đoạc thẳng MP (Đpcm)
d) tự lm
Cm: a) Xét t/giác ABH và t/giác ACH
có AB = AC (gt)
góc AHB = góc AHC = 900 (gt)
AH : chung
=> t/giác ABH = t/giác ACH (ch - cgn)
=> góc BAH = góc HAC (hai góc tương ứng) (Đpcm)
=> BH = CH (hai cạnh tương ứng)
=> H là trung điểm của BC
b) Xét t/giác AMH và t/giác ANH
có góc AMH = góc ANH = 900 (gt)
AH : chung
góc MAH = góc NAH (Cmt)
=> t/giác AMH = t/giác ANH (ch - gn)
=> AM = AN (hai cạnh tương ứng)
=> T/giác AMN là t/giác cân tại A
c) Gọi I là giao điểm của BC và MP
Ta có: T/giác AMH = t/giác ANH (Cmt)
=> MH = HN (hai cạnh tương ứng)
Mà HN = PH (gt)
=> MH = PH
Ta lại có: góc AHM + góc MHB = 900 (phụ nhau)
góc AHN + góc NHC = 900 (phụ nhau)
Và góc AHM = góc AHN (vì t/giác AHM = t/giác AHN)
=> góc MHB = góc NHC
Mà góc NHC = góc BHP
=> góc MHB = góc BHP
Xét t/giác MHI và t/giác PHI
có MH = PH (cmt)
góc MHI = góc IHP (cmt)
HI : chung
=> t/giác MHI = t/giác PHI (c.g.c)
=> MI = PI (hai cạnh tương ứng) => I là trung điểm của MP (1)
=> góc MIH = góc HIP (hai góc tương ứng)
Mà góc MIH + góc HIP = 1800
=> 2.góc MIH = 1800
=> góc MIH = 1800 : 2
=> góc MIH = 900
=> HI ⊥MP (2)
Từ (1) và (2) suy ra HI là đường trung trực của đoạn thẳng MP
hay BC là đường trung trực của đoạc thẳng MP (Đpcm)
a) Chứng minh: HH là trung điểm của BCBC và ∠BAH=∠HAC.∠BAH=∠HAC.
Xét ΔABH&ΔACHΔABH&ΔACH ta có :
AB=AC∠B=∠CAB=AC∠B=∠C (do ΔABCΔABC cân tại A)
∠AHB=∠AHC=900(GT)∠AHB=∠AHC=900(GT)
⇒ΔABH=ΔACH⇒ΔABH=ΔACH (cạnh huyền- góc nhọn)
⇒{HB=HB∠BAH=∠HAC.⇒{HB=HB∠BAH=∠HAC. (cạnh và góc tương ứng)
Hay HH là trung điểm của BCBC và ∠BAH=∠HAC.∠BAH=∠HAC.
b)
Xét ΔAMH&ΔANHΔAMH&ΔANH ta có:
AHchungAHchung
∠MAH=∠NAC.∠MAH=∠NAC.(cmt)
∠AMH=∠ANH=900(GT)∠AMH=∠ANH=900(GT)
⇒ΔAMH=ΔANH⇒ΔAMH=ΔANH (cạnh huyền_góc nhọn)
⇒AM=AN⇒AM=AN (cạnh tương ứng)
Vậy ΔAMNΔAMN có AM=AN(cmt)⇒ΔAMNAM=AN(cmt)⇒ΔAMN là tam giác cân tại AA .
c) Ta có: HH là trung điểm của đoạn thẳng NPNP
⇒HP=HN⇒HP=HN (1)
Mà ΔAMH=ΔANH(cmt)ΔAMH=ΔANH(cmt)⇒HM=HN⇒HM=HN (2) (cạnh tương tứng)
Từ (1) và (2) suy ra: HP=HM=HNHP=HM=HN
Trong ΔMNPΔMNP có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác đó là tam giác vuông.
MN⊥MPMN⊥MP
Gọi O là giao điểm của AH với MN.
Vì ΔAMNΔAMN là tam giác cân nên AO⊥MNhayAH⊥MN(3)AO⊥MNhayAH⊥MN(3)
Lại có : AH⊥BC(4)AH⊥BC(4)
Từ (3) và (4) suy ra : MN//BCMN//BC
Mà MN⊥MP⇒BC⊥MP⇒HK⊥MPMN⊥MP⇒BC⊥MP⇒HK⊥MP
Xét tam giác ΔHMPΔHMP có HM=HP(cmt)⇒ΔHMPHM=HP(cmt)⇒ΔHMP cân tại H.
Có HK⊥MP(cmt)⇒HKHK⊥MP(cmt)⇒HK là đường cao của ΔHMPΔHMP
Hay BCBC chính là đường trung trực của MP (đpcm).
d) Trong tam giác ΔMNPΔMNP có : MH;NKMH;NK là hai đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ đỉnh M và N.
Mà NKNK cắt MHMH tại điểm DD (gt)
⇒D⇒D là trọng tâm của tam giác MNPMNP
Lại có : O là trung điểm của MN
do đó : POPO là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh P⇒PDP⇒PD đi qua O. (5)
Mặt khác : O là giao điểm của AH với MN. (6)
Từ (5) và (6) suy ra : ba đường thẳng AH;MN;DPAH;MN;DP cùng đi qua 1 điểm đó là điểm O. (đpcm)
