Question

Cho tam giác ABC cân ở A có đường phân giác AD (D thuộc BC) và đường trung tuyến BE (E thuộc AC) cắt nhau tại O

a) Chúng minh O là trọng tâm tam giác ABC

b) Tính độ dài OD biết AB = 5cm, BC = 8cm

c) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để O cũng là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC?

Answer 1

a) Xét ΔABD và ΔACD có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔACD(c-g-c)

Suy ra: BD=CD(hai cạnh tương ứng)

mà B,D,C thẳng hàng(gt)

nên D là trung điểm của BC

Xét ΔABC có 

AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(cmt)

BE là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)

AD cắt BE tại O(gt)

Do đó: O là trọng tâm của ΔABC(Định lí ba đường trung tuyến của tam giác)

b) Ta có: D là trung điểm của BC(cmt)

nên \(BD=CD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{8}{2}=4\left(cm\right)\)

Ta có: ΔABD=ΔACD(cmt)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại D, ta được:

\(AB^2=AD^2+BD^2\)

\(\Leftrightarrow AD^2=5^2-4^2=25-16=9\)

hay AD=3(cm)

Xét ΔABC có 

AD là đường trung tuyến ứng với cạnh CB(cmt)

O là trọng tâm của ΔABC(cmt)

Do đó: \(OD=\dfrac{1}{3}AD\)(Tính chất trọng tâm của tam giác)

hay OD=1(cm)

Vậy: OD=1cm

c) Xét ΔABC có 

O là giao điểm của 3 đường phân giác

O là giao điểm của 3 đường trung tuyến

Do đó: ΔABC đều