Question

cho tam giác ABC (AB<AC) có đường cao AH biết AH =HC .Trên AH lấy I sao cho HB=HI.

a/Chứng minh IB vuông góc AC tại D và I là trực tâm của tam giác ABC.

b/gọi B là trung BI,Q là trung điểm AC. Chứng minh QC+PH=BD   

c/Kẻ HN vuông góc AB . Chứng minh HN+AB>BC 

Answer 1

Câu a và b mình trả lời hộ bạn rùi. Bây giờ mình sẽ giải câu c.

Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM=BH. Trên AH lấy điểm K sao cho HK=HN. Nối M với K và H.

Xét tam giác MNH: ^MNH=90⁰ => ^NMH+^NHM=90⁰ (1)

Lại có: ^KHM+^BHM=^KHB=90⁰ . Mà BM=BH => Tam giác HBM cân tại B 

=> ^BHM=^BMH => ^KHM+^BMH=90⁰ (Thay vào biểu thức trên) hay ^KHM+^NMH=90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^NMH+^NHM=^KHM+^NMH=90⁰ => ^NHM=^KHM=90⁰-^NMH

Xét tam giác MNH và tam giác MKH có:

Cạnh MH chung

^NHM=^KHM       => Tam giác MNH=Tam giác MKH (c.g.c)

HN=HK

=> MNH=^MKH (2 góc tương ứng) . Mà MNH=90⁰ => ^MKH=90⁰ 

MK vuông góc với AH => Tam giác MAK vuông tại K

=> AM là cạnh lớn nhất trong tam giác MAK (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

=> AM>AK => AB-BM>AH-HK (3) (Hệ thức cộng trừ đoạn thẳng)

Thay BM=BH và HK=HN theo cách vẽ vào (3), ta có:

AB-BH>AH-HN <=> AB>AH-HN+BH <=> HN+AB>AH+BH (Chuyển vế đổi dấu) (4)

Thay AH=HC vào (4), ta có: HN+AB>HC+HB => HN+AB>BC (đpcm)

--End--

  \(\Delta\)