Cho tam giác ABC (AB < AC). M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Kẻ PH vuông góc với AB, kẻ PK vuông góc với AC.
1, Chứng minh : PB = PC và BH = CK.
2, Chứng minh ba điểm H,M,K thẳng hàng.
3, Gọi O là giao điểm của PA và HK. Chứng minh : \(OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=PA^2\)
a ) a.Vì P∈Trung trực của BC
\(\Rightarrow PB=PC\)
Ta có : AP là phân giác \(\widehat{BAC},PH\perp AB,PK\perp AC\Rightarrow PH=PK\)
Mà \(\widehat{PHB}=\widehat{PKC}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta PBH=\Delta PCK\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow BH=CK\)
b ) Ta có : \(PH=PK,\widehat{PHA}=\widehat{PKA}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta PHA=\Delta PKA\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow AH=AK\)
\(\Rightarrow\Delta AHK\) cân tại A
Mà AP là phân giác ^A
\(\Rightarrow AP\perp HK\)
Qua B kẻ BE // AK , \(E\in HK\)
\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{AKH}\)
Do \(\Delta AHK\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{AHK}\)
\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{BHE}\Rightarrow BH=BE\)
Mà \(BH=CK\Rightarrow BE=CK\)
Lại có BE // CK => \(\widehat{EBM}=\widehat{MCK}\)
Do M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC\Rightarrow\Delta EBM=\Delta KCM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BME}=\widehat{KMC}\)
\(\Rightarrow\widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^0\)
\(\Rightarrow E,M,K\) thẳng hàng
\(\Rightarrow H,M,K\) thẳng hàng vì E , H , K thẳng hàng
c ) Do \(PA\perp HK\) ( câu a )
\(\Rightarrow AP\perp HK=O\)
Kết hợp AH = AK \(\Rightarrow O\) là trung điểm HK
\(\Rightarrow OH=OK\)
\(\Rightarrow OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2\)
\(=\left(OA^2+OH^2\right)+\left(OP^2+OH^2\right)\)
\(=AH^2+PH^2\)
\(=AP^2,\left(PH\perp AB\right)\)
) a.Vì P∈Trung trực của BC
⇒PB=PC⇒PB=PC
Ta có : AP là phân giác ˆBAC,PH⊥AB,PK⊥AC⇒PH=PKBAC^,PH⊥AB,PK⊥AC⇒PH=PK
Mà ˆPHB=ˆPKC=900PHB^=PKC^=900
⇒ΔPBH=ΔPCK⇒ΔPBH=ΔPCK (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒BH=CK⇒BH=CK
b ) Ta có : PH=PK,ˆPHA=ˆPKA=900PH=PK,PHA^=PKA^=900
⇒ΔPHA=ΔPKA⇒ΔPHA=ΔPKA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒AH=AK⇒AH=AK
⇒ΔAHK⇒ΔAHK cân tại A
Mà AP là phân giác ^A
⇒AP⊥HK⇒AP⊥HK
Qua B kẻ BE // AK , E∈HKE∈HK
⇒ˆBEH=ˆAKH⇒BEH^=AKH^
Do ΔAHKΔAHK cân tại A ⇒ˆAKH=ˆAHK⇒AKH^=AHK^
⇒ˆBEH=ˆBHE⇒BH=BE⇒BEH^=BHE^⇒BH=BE
Mà BH=CK⇒BE=CKBH=CK⇒BE=CK
Lại có BE // CK => ˆEBM=ˆMCKEBM^=MCK^
Do M là trung điểm BC ⇒MB=MC⇒ΔEBM=ΔKCM(c.g.c)⇒MB=MC⇒ΔEBM=ΔKCM(c.g.c)
⇒ˆBME=ˆKMC⇒BME^=KMC^
⇒ˆEMK=ˆBME+ˆBMK=ˆCMK+ˆBMK=ˆBMC=1800⇒EMK^=BME^+BMK^=CMK^+BMK^=BMC^=1800
⇒E,M,K⇒E,M,K thẳng hàng
⇒H,M,K⇒H,M,K thẳng hàng vì E , H , K thẳng hàng
c ) Do PA⊥HKPA⊥HK ( câu a )
⇒AP⊥HK=O⇒AP⊥HK=O
Kết hợp AH = AK ⇒O⇒O là trung điểm HK
⇒OH=OK⇒OH=OK
⇒OA2+OP2+OH2+OK2=OA2+OP2+OH2+OH2⇒OA2+OP2+OH2+OK2=OA2+OP2+OH2+OH2
=(OA2+OH2)+(OP2+OH2)=(OA2+OH2)+(OP2+OH2)
=AH2+PH2=AH2+PH2
=AP2,(PH⊥AB)
