a, Xét tam giác AHB và tam giác CHA ta có :
^BAM = ^MCA ( cùng phụ ^CAM )
^AHB = ^CHA = 900
Vậy tam giác AHB ~ tam giác CHA ( g.g )
\(\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{AH}\Rightarrow AH^2=HB.HC=4.9=36\Rightarrow AH=6\)cm
Theo định lí Pytago tam giác AHC vuông tại H
\(AC^2=AH^2+HC^2=81+36=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}\)cm
-> HB + HC = BC = 9 + 4 = 13 cm
Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A
\(AB^2=BC^2-AC^2=169-\left(3\sqrt{13}\right)^2=52\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\)cm
mà BM là đường trung tuyến => \(AM=\frac{1}{2}AC=\frac{3\sqrt{13}}{2}\)cm
Theo định lí Pytago tam giác ABM vuông tại A
\(BM^2=AB^2+AM^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{13}}{2}\right)^2=\frac{325}{4}\Rightarrow BM=\frac{5\sqrt{13}}{2}\)cm
b, Xét tam giác ABK và tam tam giác MBA ta có :
^B _ chung
^AKB = ^MAB = 900
Vậy tam giác ABK ~ tam giác MBA ( g.g )
\(\Rightarrow\frac{AB}{MB}=\frac{BK}{AB}\Rightarrow AB^2=BK.MB\)(1)
tương tự xét tam giác ABH ~ tam giác CBA ( g.g )
\(\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow AB^2=BH.BC\)(2)
Từ (1) ; (2) suy ra : \(BK.MB=BH.BC\)(3)
(3) => \(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{MB}\)
Xét tam giác BKH và tam giác BCM ta có :
^B _ chung
\(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{MB}\)( cmt )
Vậy tam giác BKH = tam giác BCM ( c.g.c )
=> ^BKH = ^BCM ( 2 góc tương ứng )
