Question

Cho S = 1 + 3 + 3² + 3³ + .... + 3²⁰¹⁴. 

Tìm chữ số tận cùng của S , từ đó suy ra S không là số chính phương 

 

Answer 1

Ta có: S = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁴        (1)

    => 3S = 3(1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁴)

    => 3S = 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵ (2)

Ta lấy (2) - (1):

=> 3S - S = (3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵) - (1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁴)

=>     2S   =                 3²⁰¹⁵ - 1

=>        S  = 3²⁰¹⁵ - 1 : 2

Ta thấy : 3²⁰¹⁵ - 1 : 2 = (3⁴) . (3²⁰¹¹) : 2 = (...1) . (...1) :2 

=> S không phải là số chính phương.

Answer 2

Ta có : S=1+3+3²+3³+...+3²⁰¹⁴

\(\Rightarrow\)3S=3+3²+3³+3⁴+...+3²⁰¹⁵

\(\Rightarrow\)3S-S=(3+3²+3³+3⁴+...+3²⁰¹⁵)-(1+3+3²+3³+...+3²⁰¹⁴)

\(\Rightarrow\)2S=1+3²⁰¹⁵

Ta có : 3²⁰¹⁵=3³.(3⁴)⁵⁰³=27.\(\left(\overline{...1}\right)\)=\(\overline{...7}\)

\(\Rightarrow\)2S=1+3²⁰¹⁵=1+\(\left(\overline{...7}\right)\)=\(\overline{...8}\)

\(\Rightarrow\)Chữ số tận cùng của 2S hay S là 8

Mà không có số chính phương nào có chữ số tận cùng nào là 8

\(\Rightarrow\)S không là số chính phương.

Vậy S không là số chính phương.