Question

Cho (P):y=\(x^2\) ,(d):y=mx+4.Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có tung độ \(y_1;y_2\) thõa mãn:

\(y^2_1+y^2_2=7^2\)

Answer 1

Gọi 2 điểm mà (d) và (P) cắt nhau là: \(A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)\)
Do \(A\left(x_1;y_1\right)\in\left(P\right)\) nên: \(y_1=x^2_1\)
Do \(B\left(x_2;y_2\right)\in\left(P\right)\) nên: \(y_2=x_2^2\)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x²=mx+4
<=> x²-mx-4=0
Ta thấy:
\(\Delta\)= m²-4.(-4)>0
= m²+16 >0 (luôn đúng vì m²\(\ge\)0 với mọi m)
Do đó: (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Theo định lí Viet, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=-4\\x_1+x_2=m\end{matrix}\right.\) (1)
Mà theo đề bài, ta có:
\(y^2_1+y_2^2=7^2\)
<=> \(x_1^4+x_2^4=49\)
<=> \(\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2\left(x_1.x_2\right)^2=49\)
<=> \(\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\right)^2-2\left(x_1.x_2\right)^2=49\)
<=> [m²-2.(-4)]²-2.(-4)²=49
<=> (m²+8)²=49+32
<=>(m²+8)²=81
<=> m²+8=9 (vì m²\(\ge\)0 => m²+8>0 với mọi m)
<=> m²=1
\(< =>\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m\in\left\{1;-1\right\}\)

Answer 2

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

\(x^2-mx-4=0(*)\)

Ta thấy \(\Delta_*=m^2+16>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ với mọi $m$, hay (P) và (d) luôn giao nhau tại 2 điểm pb \((x_1,mx_1+4); (x_2,mx_2+4)\)

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(y_1^2+y_2^2=7^2=49\)

\(\Leftrightarrow (mx_1+4)^2+(mx_2+4)^2=49\)

\(\Leftrightarrow m^2(x_1^2+x_2^2)+8m(x_1+x_2)+32=49\)

\(\Leftrightarrow m^2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+8m(x_1+x_2)-17=0\)

\(\Leftrightarrow m^2(m^2+8)+8m^2-17=0\)

\(\Leftrightarrow m^4+16m^2-17=0\)

\(\Rightarrow m=\pm 1\) (thỏa mãn)

Vậy.............