Question

Cho parabol (P)\(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) và đường thẳng (d) \(y=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1\)

Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho \(x^2_1+x^2_2=5m\)

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{1}{4}x^2+mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1=0\Leftrightarrow x^2+4mx-2m^2+4m+4=0\)

\(\Delta'=4m^2+2m^2-4m-4=6m^2-4m-4\ge0\) (1)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m\\x_1x_2=-2m^2+4m+4\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=5m\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5m\)

\(\Leftrightarrow\left(-4m\right)^2-2\left(-2m^2+4m+4\right)=5m\)

\(\Leftrightarrow20m^2-13m-8=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{13+\sqrt{809}}{40}\\m=\dfrac{13-\sqrt{809}}{40}\end{matrix}\right.\)

Thay 2 giá trị của m vào (1) đều ko thỏa mãn

Vậy không tồn tại m thỏa mãn