Đặt \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-x^2-2\) (1)
\(\Rightarrow Q\left(1\right)=P\left(1\right)-1^2-2=3-3=0\)
\(Q\left(3\right)=P\left(3\right)-3^2-2=11-9-2=0\)
\(Q\left(5\right)=P\left(5\right)-5^2-2=27-25-2=0\)
\(\Rightarrow Q\left(x\right)=0\) có ít nhất 3 nghiệm \(x=1;x=3;x=5\)
Mà \(P\left(x\right)\) bậc 4 có hệ số \(x^4\) là 1 nên \(Q\left(x\right)\) bậc 4 và cũng có hệ số của \(x^4\) là 1
\(\Rightarrow Q\left(x\right)\) có dạng:
\(Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-k\right)\) với k là số thực nào đó
Thế vào (1)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=Q\left(x\right)+x^2+2=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-k\right)+x^2+2\)
\(\Rightarrow P\left(-2\right)=-105\left(-2-k\right)+6=316+105k\)
\(P\left(6\right)=15\left(6-k\right)+38=128-15k\)
\(\Rightarrow S=316+105k+7\left(128-15k\right)=1212\)
