Question

Cho P(x) là 1 đa thức bậc 6. Biết P(-1)=P(1); P(2)=P(-2); P(3)=P(-3). Chứng tỏ rằng P(x)=P(-x) với mọi số nguyên x

Answer 1

Giả sử \(P\left(x\right)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g\)

\(P\left(1\right)=P\left(-1\right)\Rightarrow a+b+c+d+e+f+g=a-b+c-d+e-f+g\)

\(\Rightarrow b+d+f=0\)(1)

Tương tự; \(P\left(2\right)=P\left(-2\right)\Rightarrow2^5b+2^3d+2f=-2^5b-2^3d-2f\)

\(\Rightarrow16b+4d+f=0\)(2)

\(P\left(3\right)=P\left(-3\right)\Rightarrow3^5b+3^3d+3f=-3^5b-3^3d-3f\)

\(\Rightarrow3^4b+3^2d+f=0\)(3)

Từ 1,2,3 suy ra \(b=d=f=0\)

Suy ra P(x) là đa thức chỉ có bậc chẵn => P(x) = P(-x) với mọi x thuộc R

Answer 2

đúng rồi

Answer 3

Đặt P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d

P(x)P(x) chia cho (x−1),(x−2),(x−3)(x−1),(x−2),(x−3) đều dư 66 nên P(1)=P(2)=P(3)=6P(1)=P(2)=P(3)=6

Ta có:

P(1)=6⇒a+b+c+d=6P(2)=6⇒8a+4b+2c+d=6P(3)=6⇒27a+9b+3c+d=6P(−1)=−a+b−c+d=−18−1)=−a+b−c+d=−18

Giải hệ trên ta được a=1;b=−6;c=11;d=0⇒P(x)=x3−6x2+11x