Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trương Thanh Nhân

Cho PT \(x^2-x-1=0\)  có hai nghiệm a,b

CMR  \(a^{2007}+b^{2007}+a^{2009}+b^{2009}\)chia hết cho 5

Kiyotaka Ayanokoji
18 tháng 5 2020 lúc 19:37

\(x^2-x-1=0\)

Ta có \(\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4.1.\left(-1\right)=1+4=5>0\)\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}\)

Phuông trình có 2 nghiệm phân biệt 

\(a=x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

\(b=x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

Ta có \(a^{2007}+b^{2007}+a^{2009}+b^{2009}\)

\(\Leftrightarrow a^{2007}.\left(1+a^2\right)+b^{2007}.\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5}.\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}+\sqrt{5}.\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5}.\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}\right]⋮5\)  (ĐPCM)

Nhớ k cho mình nhé 

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Trương Thanh Nhân
Xem chi tiết
Trương Thanh Nhân
Xem chi tiết
Trương Thanh Nhân
Xem chi tiết
Huỳnh Xuân Mai
Xem chi tiết
ILoveMath
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Quang 123
Xem chi tiết
Không Tên
Xem chi tiết
Phan Thị Hà Vy
Xem chi tiết
Châu Hữu Phát
Xem chi tiết