Question

Cho p,q là 2 số nguyên tố thỏa mãn \(p^2-q^2=p-3q+2\)

Chứng minh rằng p²+q² là số nguyên tố

 

Answer 1

Ta có p^2-p=q^2-3q+2 <=> p(p-1)=(q-1)(q-2) (*)

Từ (*) suy ra p|(q-1)(q-2). Do p là snt nên p|(q-1) hoặc p|(q-2)
+) Xét p|(q-1). Đặt q=kp+1 (k E N*) thay vào (*):

kp(kp-1)=p(p-1) <=>k(kp-1)=p-1 <=> pk^2 -k-p+1=0.<=>(p-1)[p(k+1)-1]=0

=>k=1 (Do p(k+1)-1>0).

Lúc này q=p+1>=3. Do vậy p=2. q=3 (Do p;q nguyên tố) suy ra p^2+q^2=13 là snt
Xét p|(q-2) đặt q=tp+2 (t E N*) . Thay vào (*) biến đổi tương tự ta được . (t+1)[p(k-1)+1]=0 (vô lý nên loại)

Vậy đpcm

Answer 2

p² - q² = p - 3q + 2 

4p² - 4q² = 4p - 12q + 8

4p² - 4p + 1 = 4q² - 12q + 9

(2p - 1)² = (2q - 3)²

Mà 2p - 1 >0(p nguyên tố);2q - 3 >0(q nguyên tố)

Do đó 2p - 1 = 2q - 3 <=> p + 1 = q

Ta có q > 3 (vì p > 2) nên q lẻ, do đó p chẵn

=> p = 2. Nên q = p + 1 = 3

Vậy p² + q² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 là số nguyên tố