Question

cho phương trình : x²+ 2(m+1)x+2m=0

a) chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi giá trị m

b) tìm GTNN của A = x1² + x2²

 

Answer 1

a)

XÉT    \(\Delta=4\left(m+1\right)^2-8m=4m^2+8m+4-8m=4m^2+4\ge0+4=4>0\)

=>   \(\Delta>0\)     

=>    PT CÓ 2 NGHIỆM PHÂN BIỆT VỚI MỌI GIÁ TRỊ m.

b)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\left(1\right)\\x_1.x_2=2m\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2\)

<=>   \(x_1^2+x_2^2+4m=4m^2+8m+4\)

<=>   \(x_1^2+x_2^2=4m^2+4m+4=4m^2+4m+1+3=\left(2m+1\right)^2+3\ge3\forall m\)

=>    \(x_1^2+x_2^2\ge3\)

DẤU "=" XẢY RA <=>   \(\left(2m+1\right)^2=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)

Answer 2

a) \(\Delta^'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+2m+1-2m=m^2+1>0\forall m\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\forall m\)

b) Theo định lý Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)=-2m-2\\x_1x_2=2m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

                     \(=\left(-2m-2\right)^2-2.2m\)

                     \(=4m^2+8m+4-4m\)

                     \(=4m^2+4m+4=\left(2m+1\right)^2+3\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-1\end{cases}}\)

Đến đây thì bạn tìm ra \(x_1;x_2\)là nghiệm của \(x^2+x-1=0\)và kết luận GTNN.

Answer 3

a) Xét \(\Delta^/=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+1>0,\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Định lí Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-4m=4m^2+4m+4=\left(2m+1\right)^2+3\ge3\)

Vậy \(A_{max}=3\)Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2m+1=0 <=> m=-1/2