Question

Cho phương trình 2x ^ 2 + 2mx + m ^ 2 - 2 = 0 với m là tham số. Gọi x_{1} x_{2} là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = |2x1x2 + x1 + x2 - 4|

Answer 1

\(\Delta'=m^2-2\left(m^2-2\right)=4-m^2>0\Rightarrow-2< m< 2\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=\dfrac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\left|2x_1x_2+x_1+x_2-4\right|\)

\(=\left|m^2-2-m-4\right|\)

\(=\left|m^2-m-6\right|\)

Do \(-2< m< 2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m-2< 0\\m^2-4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m^2-m-6< 0\)

\(\Rightarrow A=\left|m^2-m-6\right|=-m^2+m+6\)

\(\Rightarrow A=-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{25}{4}\le\dfrac{25}{4}\)

\(A_{max}=\dfrac{25}{4}\) khi \(m=\dfrac{1}{2}\)