Question

cho phân số \(\frac{a}{b}\)\(\left(a,b\in Z,0< a< b\right)\). Chứng minh rằng \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)

Answer 1

Cách 1: Nếu bạn đã học các hằng đẳng thức đáng nhớ.

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)\(=\frac{a^2+b^2}{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)

Vì a,b > 0 nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)

hay \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(>0\)

=>\(\frac{a^2+b^2}{ab}>2\)

=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)

Cách 2: nếu bạn đã học bất đẳng thức cô-si:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\ge2\sqrt{1}>2\)(theo bất đẳng thức cô-si)