a.
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^2=mx+2\Leftrightarrow x^2-mx-2=0\) (1)
\(ac=-2;\forall m\Rightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi m
Hay (d) cắt (P) tại 2 điểm pb A, B với mọi m với \(A\left(x_1;y_1\right)\) ; \(B\left(x_2;y_2\right)\)
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)
b.
Do I là giao điểm của (d) với Oy \(\Rightarrow x_I=0\Rightarrow y_I=m.0+2=2\)
\(\Rightarrow I\left(0;2\right)\)
Gọi C là hình chiếu của A lên Ox \(\Rightarrow C\left(x_1;0\right)\) \(\Rightarrow OC=\left|x_1\right|\)
Gọi D là hình chiếu của B lên Ox \(\Rightarrow D\left(x_2;0\right)\) \(\Rightarrow OD=\left|x_2\right|\)
ABDC tạo thành hình thang vuông tại C và D, do \(OI||AC||BD\) (cùng vuông góc trục hoành), áp dụng định lý Thales:
\(\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow OD=3OC\)
\(\Rightarrow\left|x_2\right|=3\left|x_1\right|\)
Mà theo câu a đã chứng minh \(x_1;x_2\) trái dấu \(\Rightarrow x_2=-3x_1\)
Thế vào \(x_1+x_2=m\Rightarrow x_1-3x_1=m\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-\dfrac{m}{2}\\x_2=\dfrac{3m}{2}\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=-2\Rightarrow-\dfrac{3m^2}{4}=-2\)
\(\Rightarrow m=\pm\sqrt{\dfrac{8}{3}}\)
