a) Chứng minh OD là trung trực của đoạn BC
b) Chứng minh AC. OD = 2R.
c) Tia phân giác của góc AOC cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn.
d) AD cắt đường tròn tại M. Chứng minh hệ thức DM.DA = DH.DO và BD. AE = R.
a: Xét (O) có
DB,DC là các tiếp tuyến
Do đó: DB=DC
=>D nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OD là đường trung trực của BC
b: Sửa đề: \(AC\cdot OD=2R^2\)
Xét (O) có
ΔBCA nội tiếp
BA là đường kính
Do đó: ΔBCA vuông tại C
=>BC\(\perp\)CA
mà OD\(\perp\)BC
nên OD//AC
Xét ΔBCA vuông tại C và ΔOBD vuông tại B có
\(\widehat{BOD}=\widehat{BAC}\)(hai góc đồng vị, OD//AC)
Do đó: ΔCAB~ΔBOD
=>\(\dfrac{AC}{BO}=\dfrac{AB}{OD}\)
=>\(AC\cdot OD=AB\cdot BO=2R\cdot R=2R^2\)
c: Xét ΔOCE và ΔOAE có
OC=OA
\(\widehat{COE}=\widehat{AOE}\)(OE là phân giác của góc AOC)
OE chung
Do đó: ΔOCE=ΔOAE
=>\(\widehat{OCE}=\widehat{OAE}\)
=>\(\widehat{OAE}=90^0\)
=>AE là tiếp tuyến của (O)
