Question

Cho (O) đường kính AB. Gọi H là trung điểm OB, MN là dây bất kì qua H. Vẽ dây AA' vuông góc vs MN. Lấy I là trung điểm của MN, BI cắt AA' tại D. C/m:

a) Tứ giác DMBN là hình bình hành

b) D là trung điểm AA'

Answer 1

a) Để chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác là bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Ta có MN là dây bất kì qua trung điểm H của đường kính AB, nên MN song song với AB và có độ dài bằng nhau.Vì AA' vuông góc với MN tại I, nên AI là đường phân giác của góc MAN. Tương tự, AI' là đường phân giác của góc MBN. Do đó, AI và AI' cắt nhau tại trung điểm D của BI.Vì MN song song với AB và có độ dài bằng nhau, cùng với việc AI và AI' cắt nhau tại D, ta có thể kết luận rằng tứ giác DMBN là hình bình hành.

b) Để chứng minh D là trung điểm của AA', ta cần chứng minh AD = AD' và AI = AI'.

Vì D là trung điểm của BI, nên BD = ID.Vì AI và AI' là đường phân giác của góc MAN và góc MBN, nên AI = MI và AI' = NI.Vì MN là dây bất kì qua trung điểm H của đường kính AB, nên MN song song với AB và có độ dài bằng nhau. Do đó, MI = NI.Vì BD = ID và AI = MI = NI, ta có thể kết luận rằng D là trung điểm của AA'.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai câu a) và b).