Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm E và F sao cho F thuộc cung AE. Hai đường thẳng AF và BE cắt nhau tại M, AE và BF cắt nhau tại H.
a. Chứng minh tứ giác MEHF nội tiếp
b. MH vuông góc AB tại I và AF.AM + BF.BM = AB^2 c. Vẽ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn tâm O (C và D là hai tiếp điểm, A và C cùng phía đối với MI). Chứng minh góc MDC = góc MID.
a: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
=>AE\(\perp\)MB tại E
Xét (O) có
ΔBFA nội tiếp
BA là đường kính
Do đó:ΔBFA vuông tại F
=>BF\(\perp\)MA tại F
Xét tứ giác MEHF có \(\widehat{MEH}+\widehat{MFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên MEHF là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔMAB có
BF,AE là các đường cao
BF cắt AE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔMAB
=>MH\(\perp\)AB tại I
Xét ΔAFB vuông tại F và ΔAIM vuông tại I có
\(\widehat{FAB}\) chung
Do đó: ΔAFB~ΔAIM
=>\(\dfrac{AF}{AI}=\dfrac{AB}{AM}\)
=>\(AF\cdot AM=AI\cdot AB\)
Xét ΔBEA vuông tại E và ΔBIM vuông tại I có
\(\widehat{EBA}\) chung
Do đó: ΔBEA~ΔBIM
=>\(\dfrac{BE}{BI}=\dfrac{BA}{BM}\)
=>\(BE\cdot BM=BA\cdot BI\)
\(AF\cdot AM+BE\cdot BM\)
\(=AI\cdot AB+BI\cdot AB=AB\left(BI+AI\right)=AB^2\)
