Question

Cho \(n=2^{2019}-2^{2018}-2^{2017}-...-2^2-2-1\) .Tính \(A=3^n+2^n+2020^n\)

Answer 1

\(n=2^{2019}-2^{2018}-...-2^1-1=2^{2019}-\left(2^{2018}+2^{2017}+...+2^1+1\right)\)

Đặt\(S=1+2+...+2^{2017}+2^{2018}\)

\(\Rightarrow2S=2+2^2+...+2^{2018}+2^{2019}\)

\(\Rightarrow2S-S=\left(2+2^2+...+2^{2018}+2^{2019}\right)-\left(1+2+...+2^{2017}+2^{2018}\right)\)

\(\Rightarrow S=2^{2019}-1\)

Mà\(n=2^{2019}-S\)

\(\Rightarrow n=2^{2019}-\left(2^{2019}-1\right)=1\)

\(\Rightarrow A=3^1+2^1+2020^1=2025\)

Happy new year :)))

Answer 2

Ta có : n = 2²⁰¹⁹ - 2²⁰¹⁸ - 2²⁰¹⁷ - .... - 2² - 2 - 1 (1)

=> 2n = 2²⁰²⁰ - 2²⁰¹⁹ - 2²⁰¹⁸ - .... - 2³ - 2² - 2 (2)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta có :

2n - n = (2²⁰²⁰ - 2²⁰¹⁹ - 2²⁰¹⁸ - .... - 2³ - 2² - 2) - (2²⁰¹⁹ - 2²⁰¹⁸ - 2²⁰¹⁷ - .... - 2² - 2 - 1)

  => n = 2²⁰²⁰ - 2²⁰¹⁹ - 2²⁰¹⁹ + 1

  => n = 2²⁰²⁰ - 2.2²⁰¹⁹ + 1 = 2²⁰²⁰ - 2²⁰²⁰ + 1 = 1

  Khi đó A = 3¹ + 2¹ + 2020¹ = 3 + 2 + 2020 = 2025

Vậy A = 2025