Question

Cho \(n\) là số tự nhiên. CMR:

a)\(2^{2n+2}+24n+14⋮18\)

b)\(19^n-18n^2-1⋮72\)

Chứng minh theo đồng dư thức

Answer 1

Mình chứng minh theo cách quy nạp nhé, còn cách kia mình chưa học.

a) - Khi \(n=0\) thì:

\(2^{2n+2}+24n+14=2^{2.0+2}+24.0+14=18⋮18\left(đúng\right)\)

- Giả sử mệnh đề đúng với \(n=k\) tức là:

\(2^{2k+2}+24k+14⋮18\)

Ta c/m mệnh đề cũng đúng với \(n=k+1\) tức là:

\(2^{2\left(k+1\right)+2}+24\left(k+1\right)+14⋮18\)

\(\Rightarrow2^{2k+4}+24k+38⋮18\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có:

\(4\left(2^{2k+2}+24k+14\right)⋮18\)

\(\Rightarrow2^{2k+4}+96k+56⋮18\)

\(\Rightarrow\left(2^{2k+4}+24k+38\right)+\left(72k+18\right)⋮18\)

Do \(72k+18⋮18\Rightarrow2^{2k+4}+24k+38⋮18\)

Vậy mệnh đề đúng với \(n=k+1\). Theo nguyên lí Quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi n là số tự nhiên.

Answer 2

Lời giải:
a. Gọi biểu thức là $A$. Hiển nhiên $A\vdots 2$. Giờ chỉ cần cm $A\vdots 9$

Nếu $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$

$2^{2n+2}=4.4^n=4.4^{3k}=4.64^k\equiv 4.1^k\equiv 4\pmod 9$

$24n=72k\equiv 0\pmod 9$

$14\equiv 5\pmod 9$

Cộng theo vế suy ra $A\equiv 4+0+5\equiv 9\equiv 0\pmod 9(1)$

Nếu $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$

$2^{2n+2}=4.4^n=16.4^{3k}=16.64^k\equiv 16.1^k\equiv 7\pmod 9$

$24n=24(3k+1)=72k+24\equiv 6\pmod 9$

$14\equiv 5\pmod 9$

Cộng theo vế suy ra $A\equiv 18\equiv 0\pmod 9(2)$

Nếu $n=3k+2$ với $k\in\mathbb{N}$

$2^{2n+2}=2^{2(3k+2)+2}=64^{k+1}\equiv 1^{k+1}\equiv 1\pmod 9$

$24n=24(3k+2)=72k+48\equiv 3\pmod 9$

$14\equiv 5\pmod 9$

Cộng theo vế suy ra $A\equiv 9\equiv 0\pmod 9(3)$

Từ $(1); (2); (3)$ suy ra $A\vdots 9$

Mà $A\vdots 2$ và $(2,9)=1$ nên $A\vdots 18$

Answer 3

b. Gọi biểu thức là $B$

Cần cm $B\vdots 8$ và $B\vdots 9$.

$19\equiv 1\pmod 9\Rightarrow 19^n\equiv 1^n\equiv 1\pmod 9$

$18n^2\equiv 0\pmod 9$

$1\equiv 1\pmod 9$

$\Rightarrow B\equiv 1-0-1\equiv 0\pmod 9(1)$

Mặt khác:

Nếu $n=2k$ với $k\in\mathbb{N}$ thì:

$B=19^{2k}-18.(2k)^2-1=361^k-72k^2-1\equiv 1^k-0-1\equiv 0\pmod 8$

Nếu $n=2k+1$ với $k\in\mathbb{N}$ thì:

$19^n=19^{2k+1}=19.361^k\equiv 19.1^k\equiv 3\pmod 8$

$18n^2=18(2k+1)^2=18(4k^2+4k+1)=72(k^2+k)+18\equiv 2\pmod 8$

$1\equiv 1\pmod 8$

$\Rightarrow B\equiv 3-2-1\equiv 0\pmod 8$

Vậy trong mọi th thì $B\vdots 8(2)$

Từ $(1); (2)$ mà $(9,8)=1$ nên $B\vdots 72$