Question

Cho m,n ∈ N và p là số nguyên tố thỏa mãn : p\(\frac{p}{m-1}=\frac{m+n}{p}\)  . Chứng minh rằng : p² =n+2

Answer 1

\(\frac{p}{m-1}=\frac{m+n}{p}\Leftrightarrow p^2=\left(m+n\right)\left(m-1\right)\)

\(\Rightarrow p^2⋮m-1\).Mà p là số nguyên tố nên \(p⋮m-1\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m-1=1\\m-1=p\end{cases}}\)

Nếu \(m-1=p\)thì \(m+n=m-1\Leftrightarrow n=-1\)(Vô lí vì \(n\inℕ\))

Vậy m - 1 = 1\(\Rightarrow m=2\)

Lúc đó: \(p^2=m+n=2+m\left(đpcm\right)\)

Answer 2

\(\frac{p}{m-1}=\frac{m+n}{p}\Rightarrow p^2=\left(m-1\right)\left(m+n\right)\Rightarrow p^2⋮\left(m-1\right)\)

mà p nguyên tố suy ra m-1\(\in\left\{1;p\right\}\)

Với m-1 = 1 suy ra m = 2 suy ra p² = 1. (2+n) = n+2

Với m-1=p suy ra p²=p. ( m+n) suy ra  p = m + n suy ra n = -1 ( loại)

Vậy p² = n +2