\(M=\left(n+1\right)\left(n+4\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1\) ( 1 )
Đặt \(t=n^2+5n+4\)
\(\Rightarrow\left(1\right)=t\left(t+2\right)+1\)
\(=t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2\)
Vậy M là bình phương của 1 số nguyên
\(M=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)
\(=\left[\left(n+1\right)\left(n+4\right)\right]\left[\left(n+2\right)\left(n+3\right)\right]+1\)
\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)
Đặt \(a^2+5a+4=x\)
ta có:\(M=x\left(x+2\right)+1\)
\(=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\)
Thay \(x=a^2+5a+4\)Ta được:
\(M=\left(a^2+5a+5\right)^2\)
Vì \(a\in Z\)nên \(a^2+5a+5\in Z\)
Do đó\(M=\left(a^2+5a+5\right)^2\)là bình phương của 1 số nguyên
M = ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 ) + 1
M = [ ( n + 1 )( n + 4 ) ][ ( n + 2 )( n + 3 ) ] + 1
M = [ n2 + 5n + 4 ][ n2 + 5n + 6 ] + 1
Đặt t = n2 + 5n + 4
M = t( t + 2 ) + 1
= t2 + 2t + 1
= ( t + 1 )2
= ( n2 + 5n + 5 )2
=> ĐPCM
