Question

Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác ABC. Các đường phân giác và phân giác ngoài của tam giác kẻ từ B cắt đường thẳng MN lần lượt tại D và E. Các tia AD và AE cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh rằng:

a) BD vuông góc với AP, BE vuông góc với AQ.

b) B là trung điểm của PQ.

c) AB = DE.

Answer 1

12ABQ^" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">12ABC^" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">12ABQ^+12ABC^" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">12(ABQ^+ABC^)=12.180o=900=DBE^" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">=12(ABQˆ+ABCˆ)=12.180o=900=DBEˆk

Áp dụng t/c đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cạnh trong 1 tam giác thì // với cạnh còn lại

→MN // BC hay MDMD // BC.BC.

⇒MDBˆ=DBPˆ

mà DBPˆ=MBDˆ

⇒MDBˆ=MBDˆ⇒ΔMBD

⇒MB=MD(1)

Do MD // BC hay ME // BQ ⇒MEBˆ=EBQˆ

mà EBQˆ=MBEˆ⇒MEBˆ=MBEˆ.

⇒ΔMEB⇒ΔMEB cân tại M ⇒ME=MB(2)

Lại có: MA=MB(gt)(3)

Từ (1);(2);(3)⇒MB=MD=ME=MA..

Xét ΔAMD;ΔBMEΔAMD;ΔBME: 

MA=MB(cmt)

AMDˆ=BMEˆ(đ2)

MD=ME(cmt)

⇒ΔAMD=ΔBME(c.g.c)⇒ΔAMD=ΔBME(c.g.

⇒ADMˆ=BEMˆ

mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒AD⇒AD // BE.

⇒DBEˆ+ADBˆ=180o (trong cùng phía)

⇒90o+ADBˆ=180o⇒ADBˆ=90o

⇒BD⊥AP.