Dễ dàng nhận ra (hoặc chứng minh bằng quy nạp) dãy đã cho là dãy dương
\(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2020}{u_n}\right)\ge\dfrac{1}{2}.2\sqrt{2020}=\sqrt{2020}\)
\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn dưới bởi \(\sqrt{2020}\)
Mặt khác:
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2020}{u_n^2}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2020}{\sqrt{2020}^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow u_{n+1}\le u_n\Rightarrow\) dãy giảm
Dãy giảm và bị chặn dưới \(\Rightarrow\) dãy có giới hạn
Gọi giới hạn đó là L \(\Rightarrow\sqrt{2020}\le L\le2021\)
Lấy giới hạn 2 vế của \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2020}{u_n}\right)\Rightarrow L=\dfrac{1}{2}\left(L+\dfrac{2020}{L}\right)\)
\(\Rightarrow L^2=2020\Rightarrow L=\sqrt{2020}\)
