Question

cho hình vuông ABCD. trên cạnh BC lấy M bất kỳ. gọi P là giao điểm của AM và CD. chứng minh rằng \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\)

Answer 1

 

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta PDA\) có :

\(\widehat{B}=\widehat{D}=90^0\left(gt\right);\widehat{A_1}=\widehat{P_1}\left(SLT\right)\) \(\Rightarrow\) \(\Delta ABM\) Đồng dạng với \(\Delta PDA\)  (g - g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{PD}{AP}\)(1)

Ta lại có \(\frac{AB}{AP}=\frac{AD}{AP}\)(2)

\(\Delta ADP\) Vuông tại D \(\Rightarrow AD^2+DP^2=AP^2\)(3)

Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\frac{AB^2}{AM^2}+\frac{AB^2}{AP^2}=\frac{PD^2}{AP^2}+\frac{AD^2}{AP^2}=\frac{PD^2+AD^2}{AP^2}=\frac{AP^2}{AP^2}=1\)

\(\Leftrightarrow AB^2\left(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{AB^2}\)(ĐPCM)