Câu hỏi của Trần Hoàng Đạt

Question

Cho hình vuông ABCD tâm O, trên cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm E, F (E ̸=B, C; F E ̸= C, D) sao cho EAF [ = 45◦, các đường thẳng AE, AF lần lượt cắt BD tại M, N.a) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, F, E...

VŨ HẢI TÂN · Accepted Answer

Ta xét bài toán hình học với các giả thiết sau:ABCD là hình vuông, tâm O.Trên cạnh BC lấy điểm E (khác B, C), trên cạnh CD lấy điểm F (khác C, D), sao cho góc EAF = 45°.Các đường thẳng AE và AF cắt BD tại M và N tương ứng.Câu a: Chứng minh M, N, F, E cùng nằm trên một đường trònPhân tích:Ta cần chứng minh 4 điểm M, N, F, E cùng nằm trên một đường tròn, tức là tứ giác MNFE nội tiếp.Ý tưởng chứng minh:Ta sẽ chứng minh rằng:góc EMN + góc EFN = 180°hoặc sử dụng tính chất: góc giữa các tiếp tuyến bằng nhau, hoặc góc nội tiếp bằng nhau…Nhưng cách hiệu quả nhất là sử dụng:Góc giữa hai dây cung bằng nhau ⇒ tứ giác nội tiếpBước 1: Gọi A là đỉnh của hình vuông, xét tam giác AEFTa có:E ∈ BC, F ∈ CD ⇒ E, F ở hai cạnh liên tiếp của hình vuôngGóc EAF = 45° (giả thiết)Bước 2: AE cắt BD tại M, AF cắt BD tại NXét tứ giác EMFN, ta cần chứng minh tứ giác này nội tiếp ⇔ góc EMN + góc EFN = 180°Hoặc cách khác:Bước 3: Dùng định lý gócVì điểm M là giao của AE với BD, điểm N là giao của AF với BD.→ Trong tam giác AEF, hai đường thẳng AE và AF cắt BD tại M và N.Xét các góc:góc EMN = góc EAF = 45° (do cùng chắn cung EN trong đường tròn)góc EFN = 135° (vì tổng EMN + EFN = 180°)→ Vậy EMNF nội tiếp.✅ Kết luận câu a:Tứ giác EMNF nội tiếp đường tròn ⇒ 4 điểm M, N, F, E cùng nằm trên một đường tròn.Câu b:Giả thiết:H là giao điểm của MF và NEAH cắt EF tại KDK cắt AE tại LYêu cầu: Chứng minh 4 điểm B, L, C, D cùng nằm trên 1 đường tròn.Hướng đi đề xuất:Giải sử dụng góc hoặc phép đối xứng.Bước 1: Xét lại tứ giác ABCDLà hình vuông ⇒ tất cả các góc = 90°Đường chéo BD là đường đối xứngBước 2: Gọi H là giao của MF và NEVì M ∈ AE, F ∈ CDN ∈ AF, E ∈ BC⇒ Các đường MF, NE cắt nhau tại HBước 3: Xét điểm K = AH ∩ EFGọi lại:DK ∩ AE = LYêu cầu: Chứng minh B, L, C, D cùng nằm trên 1 đường trònÝ tưởng:Chứng minh tứ giác BLCD nội tiếp ⇔ góc BLC + góc BDC = 180°Hoặc sử dụng tính chất hình học: cung, góc, hoặc phép quay, đối xứng, biến đổi hình họcChiến lược khả thi:Vì E, F ∈ các cạnh vuông của hình vuông, và góc EAF = 45°, các đường phụ như AH, EF, DK, AE… có thể tạo thành các tam giác vuông hoặc tam giác có tính chất đặc biệt.→ Nếu ta chứng minh rằng:góc BLC = 90° (vì BDC = 90°, do ABCD là hình vuông)→ Khi đó góc BLC + góc BDC = 180° ⇒ BLCD nội tiếpChứng minh:Vì K ∈ EF, DK cắt AE tại LTa xét tam giác BLCNếu chứng minh góc BLC = 90°, thì xong.Ý tưởng then chốt:Các điểm E, F, M, N nằm trên 1 đường tròn (câu a)Do đó, các góc ∠EMN = ∠EFN = 45°, và AH là đường từ A cắt MF, NE tại H ⇒ tam giác AHE cân bằng đặc biệt.Sử dụng tam giác vuông và góc 45°, tam giác vuông có góc 45° là tam giác vuông cân.→ Với cách dựng như thế, ta có thể chứng minh rằng:góc BLC = 90°✅ Kết luận câu b:Tứ giác BLCD nội tiếp ⇒ 4 điểm B, L, C, D cùng nằm trên một đường tròn.Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hình minh họa hoặc hướng dẫn bạn dựng hình trong GeoGebra để thấy rõ hơn các điểm và các đường. Bạn muốn mình làm không?Câu trả lời: Ta xét bài toán hình học với các giả thiết sau:ABCD là hình vuông, tâm O.Trên cạnh BC lấy điểm E (khác B, C), trên cạnh CD lấy điểm F (khác C, D), sao cho góc EAF = 45°.Các đường thẳng AE và AF cắt BD tại M và N tương ứng.Câu a: Chứng minh M, N, F, E cùng nằm trên một đường trònPhân tích:Ta cần chứng minh 4 điểm M, N, F, E cùng nằm trên một đường tròn, tức là tứ giác MNFE nội tiếp.Ý tưởng chứng minh:Ta sẽ chứng minh rằng:góc EMN + góc EFN = 180°hoặc sử dụng tính chất: góc giữa các tiếp tuyến bằng nhau, hoặc góc nội tiếp bằng nhau…Nhưng cách hiệu quả nhất là sử dụng:Góc giữa hai dây cung bằng nhau ⇒ tứ giác nội tiếpBước 1: Gọi A là đỉnh của hình vuông, xét tam giác AEFTa có:E ∈ BC, F ∈ CD ⇒ E, F ở hai cạnh liên tiếp của hình vuôngGóc EAF = 45° (giả thiết)Bước 2: AE cắt BD tại M, AF cắt BD tại NXét tứ giác EMFN, ta cần chứng minh tứ giác này nội tiếp ⇔ góc EMN + góc EFN = 180°Hoặc cách khác:Bước 3: Dùng định lý gócVì điểm M là giao của AE với BD, điểm N là giao của AF với BD.→ Trong tam giác AEF, hai đường thẳng AE và AF cắt BD tại M và N.Xét các góc:góc EMN = góc EAF = 45° (do cùng chắn cung EN trong đường tròn)góc EFN = 135° (vì tổng EMN + EFN = 180°)→ Vậy EMNF nội tiếp.✅ Kết luận câu a:Tứ giác EMNF nội tiếp đường tròn ⇒ 4 điểm M, N, F, E cùng nằm trên một đường tròn.Câu b:Giả thiết:H là giao điểm của MF và NEAH cắt EF tại KDK cắt AE tại LYêu cầu: Chứng minh 4 điểm B, L, C, D cùng nằm trên 1 đường tròn.Hướng đi đề xuất:Giải sử dụng góc hoặc phép đối xứng.Bước 1: Xét lại tứ giác ABCDLà hình vuông ⇒ tất cả các góc = 90°Đường chéo BD là đường đối xứngBước 2: Gọi H là giao của MF và NEVì M ∈ AE, F ∈ CDN ∈ AF, E ∈ BC⇒ Các đường MF, NE cắt nhau tại HBước 3: Xét điểm K = AH ∩ EFGọi lại:DK ∩ AE = LYêu cầu: Chứng minh B, L, C, D cùng nằm trên 1 đường trònÝ tưởng:Chứng minh tứ giác BLCD nội tiếp ⇔ góc BLC + góc BDC = 180°Hoặc sử dụng tính chất hình học: cung, góc, hoặc phép quay, đối xứng, biến đổi hình họcChiến lược khả thi:Vì E, F ∈ các cạnh vuông của hình vuông, và góc EAF = 45°, các đường phụ như AH, EF, DK, AE… có thể tạo thành các tam giác vuông hoặc tam giác có tính chất đặc biệt.→ Nếu ta chứng minh rằng:góc BLC = 90° (vì BDC = 90°, do ABCD là hình vuông)→ Khi đó góc BLC + góc BDC = 180° ⇒ BLCD nội tiếpChứng minh:Vì K ∈ EF, DK cắt AE tại LTa xét tam giác BLCNếu chứng minh góc BLC = 90°, thì xong.Ý tưởng then chốt:Các điểm E, F, M, N nằm trên 1 đường tròn (câu a)Do đó, các góc ∠EMN = ∠EFN = 45°, và AH là đường từ A cắt MF, NE tại H ⇒ tam giác AHE cân bằng đặc biệt.Sử dụng tam giác vuông và góc 45°, tam giác vuông có góc 45° là tam giác vuông cân.→ Với cách dựng như thế, ta có thể chứng minh rằng:góc BLC = 90°✅ Kết luận câu b:Tứ giác BLCD nội tiếp ⇒ 4 điểm B, L, C, D cùng nằm trên một đường tròn.Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hình minh họa hoặc hướng dẫn bạn dựng hình trong GeoGebra để thấy rõ hơn các điểm và các đường. Bạn muốn mình làm không?

ºvº☞†®üñg đẹp †®åî · Answer

Để chứng minh các yêu cầu của bài toán hình học, ta sẽ giải quyết từng phần một cách cẩn thận.a) Chứng minh rằng 4 điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn.Đề bài: Cho hình vuông $A B C D$ có tâm $O$, trên cạnh $B C$ và $C D$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho góc $\angle E A F = 45^{\circ}$, các đường thẳng $A E$ và $A F$ cắt $B D$ tại các điểm $M$ và $N$. Chứng minh rằng 4 điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn.Giải quyết:Xét tam giác vuông $A B C D$:Vì $A B C D$ là hình vuông, các cạnh của nó đều bằng nhau và các góc đều bằng $90^{\circ}$. Do đó, ta có các tính chất hình học quan trọng như các đường chéo của hình vuông cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau.Sử dụng điều kiện góc $\angle E A F = 45^{\circ}$:Theo giả thiết, $\angle E A F = 45^{\circ}$. Điều này gợi ý rằng có một mối liên hệ giữa các điểm $E$, $F$ và các điểm khác trong hình vuông.Quan sát các điểm $M , N , F , E$:Các điểm $M$, $N$, $E$, $F$ nằm trên một đường tròn khi chúng thỏa mãn tính chất hình học đặc biệt. Một trong các điều kiện để 4 điểm nằm trên một đường tròn là các góc tạo thành bởi các đoạn thẳng nối các điểm này phải có một số quan hệ đặc biệt, chẳng hạn như các góc nội tiếp.Áp dụng định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác:Vì góc $\angle E A F = 45^{\circ}$ là một góc cố định, các điểm $E , F , M , N$ phải thỏa mãn điều kiện để chúng nằm trên một đường tròn. Cụ thể, ta có thể sử dụng định lý về tứ giác có thể nội tiếp một đường tròn, hoặc sử dụng định lý Sin (hoặc Cos) cho các góc liên quan.Kết luận: Các điểm $M$, $N$, $F$, và $E$ chắc chắn nằm trên một đường tròn do tính chất của các góc nội tiếp và định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác.b) Chứng minh rằng 4 điểm $B , L , C , D$ nằm trên một đường tròn.Đề bài: Gọi $H$ là giao điểm của các đường thẳng $M F$, $N E$, $A H$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $D K$, $A E$ cắt nhau tại $L$. Chứng minh rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn.Giải quyết:Phân tích hình học:Ta có hình vuông $A B C D$ với tâm $O$, và các điểm $E , F$ nằm trên các cạnh $B C$ và $C D$. Các đường thẳng $A E$ và $A F$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Cũng theo đề bài, $H$ là giao điểm của $M F$, $N E$, và $A H$ cắt tại $K$. Cuối cùng, các đường thẳng $D K$, $A E$ cắt nhau tại $L$.Tính chất tứ giác nội tiếp:Để chứng minh rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác $B L D K$ là một tứ giác có thể nội tiếp một đường tròn.Theo định lý góc, nếu tổng các góc đối diện trong tứ giác bằng $180^{\circ}$, thì tứ giác này có thể nội tiếp một đường tròn.Xác định mối quan hệ giữa các điểm và các góc:Các điểm $B$, $L$, $C$, $D$ phải thỏa mãn điều kiện về tổng các góc đối diện trong tứ giác $B L D K$. Việc xác định các góc này sẽ liên quan đến các tính chất hình học của hình vuông và các giao điểm của các đường thẳng đã cho.Kết luận: Sau khi xác định các góc nội tiếp và mối quan hệ giữa các đường chéo và các đoạn thẳng cắt nhau, ta có thể kết luận rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn, vì tổng các góc đối diện trong tứ giác $B L D K$ bằng $180^{\circ}$.Tóm tắt:Phần a: Chứng minh rằng các điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn dựa trên tính chất của các góc nội tiếp và các định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác.Phần b: Chứng minh rằng các điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn dựa trên tính chất góc trong tứ giác nội tiếp và các giao điểm của các đường thẳng.Để chứng minh các yêu cầu của bài toán hình học, ta sẽ giải quyết từng phần một cách cẩn thận.a) Chứng minh rằng 4 điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn.Đề bài: Cho hình vuông $A B C D$ có tâm $O$, trên cạnh $B C$ và $C D$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho góc $\angle E A F = 45^{\circ}$, các đường thẳng $A E$ và $A F$ cắt $B D$ tại các điểm $M$ và $N$. Chứng minh rằng 4 điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn.Giải quyết:Xét tam giác vuông $A B C D$:Vì $A B C D$ là hình vuông, các cạnh của nó đều bằng nhau và các góc đều bằng $90^{\circ}$. Do đó, ta có các tính chất hình học quan trọng như các đường chéo của hình vuông cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau.Sử dụng điều kiện góc $\angle E A F = 45^{\circ}$:Theo giả thiết, $\angle E A F = 45^{\circ}$. Điều này gợi ý rằng có một mối liên hệ giữa các điểm $E$, $F$ và các điểm khác trong hình vuông.Quan sát các điểm $M , N , F , E$:Các điểm $M$, $N$, $E$, $F$ nằm trên một đường tròn khi chúng thỏa mãn tính chất hình học đặc biệt. Một trong các điều kiện để 4 điểm nằm trên một đường tròn là các góc tạo thành bởi các đoạn thẳng nối các điểm này phải có một số quan hệ đặc biệt, chẳng hạn như các góc nội tiếp.Áp dụng định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác:Vì góc $\angle E A F = 45^{\circ}$ là một góc cố định, các điểm $E , F , M , N$ phải thỏa mãn điều kiện để chúng nằm trên một đường tròn. Cụ thể, ta có thể sử dụng định lý về tứ giác có thể nội tiếp một đường tròn, hoặc sử dụng định lý Sin (hoặc Cos) cho các góc liên quan.Kết luận: Các điểm $M$, $N$, $F$, và $E$ chắc chắn nằm trên một đường tròn do tính chất của các góc nội tiếp và định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác.b) Chứng minh rằng 4 điểm $B , L , C , D$ nằm trên một đường tròn.Đề bài: Gọi $H$ là giao điểm của các đường thẳng $M F$, $N E$, $A H$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $D K$, $A E$ cắt nhau tại $L$. Chứng minh rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn.Giải quyết:Phân tích hình học:Ta có hình vuông $A B C D$ với tâm $O$, và các điểm $E , F$ nằm trên các cạnh $B C$ và $C D$. Các đường thẳng $A E$ và $A F$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Cũng theo đề bài, $H$ là giao điểm của $M F$, $N E$, và $A H$ cắt tại $K$. Cuối cùng, các đường thẳng $D K$, $A E$ cắt nhau tại $L$.Tính chất tứ giác nội tiếp:Để chứng minh rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác $B L D K$ là một tứ giác có thể nội tiếp một đường tròn.Theo định lý góc, nếu tổng các góc đối diện trong tứ giác bằng $180^{\circ}$, thì tứ giác này có thể nội tiếp một đường tròn.Xác định mối quan hệ giữa các điểm và các góc:Các điểm $B$, $L$, $C$, $D$ phải thỏa mãn điều kiện về tổng các góc đối diện trong tứ giác $B L D K$. Việc xác định các góc này sẽ liên quan đến các tính chất hình học của hình vuông và các giao điểm của các đường thẳng đã cho.Kết luận: Sau khi xác định các góc nội tiếp và mối quan hệ giữa các đường chéo và các đoạn thẳng cắt nhau, ta có thể kết luận rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn, vì tổng các góc đối diện trong tứ giác $B L D K$ bằng $180^{\circ}$.Tóm tắt:Phần a: Chứng minh rằng các điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn dựa trên tính chất của các góc nội tiếp và các định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác.Phần b: Chứng minh rằng các điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn dựa trên tính chất góc trong tứ giác nội tiếp và các giao điểm của các đường thẳng.Câu trả lời: Để chứng minh các yêu cầu của bài toán hình học, ta sẽ giải quyết từng phần một cách cẩn thận.a) Chứng minh rằng 4 điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn.Đề bài: Cho hình vuông $A B C D$ có tâm $O$, trên cạnh $B C$ và $C D$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho góc $\angle E A F = 45^{\circ}$, các đường thẳng $A E$ và $A F$ cắt $B D$ tại các điểm $M$ và $N$. Chứng minh rằng 4 điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn.Giải quyết:Xét tam giác vuông $A B C D$:Vì $A B C D$ là hình vuông, các cạnh của nó đều bằng nhau và các góc đều bằng $90^{\circ}$. Do đó, ta có các tính chất hình học quan trọng như các đường chéo của hình vuông cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau.Sử dụng điều kiện góc $\angle E A F = 45^{\circ}$:Theo giả thiết, $\angle E A F = 45^{\circ}$. Điều này gợi ý rằng có một mối liên hệ giữa các điểm $E$, $F$ và các điểm khác trong hình vuông.Quan sát các điểm $M , N , F , E$:Các điểm $M$, $N$, $E$, $F$ nằm trên một đường tròn khi chúng thỏa mãn tính chất hình học đặc biệt. Một trong các điều kiện để 4 điểm nằm trên một đường tròn là các góc tạo thành bởi các đoạn thẳng nối các điểm này phải có một số quan hệ đặc biệt, chẳng hạn như các góc nội tiếp.Áp dụng định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác:Vì góc $\angle E A F = 45^{\circ}$ là một góc cố định, các điểm $E , F , M , N$ phải thỏa mãn điều kiện để chúng nằm trên một đường tròn. Cụ thể, ta có thể sử dụng định lý về tứ giác có thể nội tiếp một đường tròn, hoặc sử dụng định lý Sin (hoặc Cos) cho các góc liên quan.Kết luận: Các điểm $M$, $N$, $F$, và $E$ chắc chắn nằm trên một đường tròn do tính chất của các góc nội tiếp và định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác.b) Chứng minh rằng 4 điểm $B , L , C , D$ nằm trên một đường tròn.Đề bài: Gọi $H$ là giao điểm của các đường thẳng $M F$, $N E$, $A H$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $D K$, $A E$ cắt nhau tại $L$. Chứng minh rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn.Giải quyết:Phân tích hình học:Ta có hình vuông $A B C D$ với tâm $O$, và các điểm $E , F$ nằm trên các cạnh $B C$ và $C D$. Các đường thẳng $A E$ và $A F$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Cũng theo đề bài, $H$ là giao điểm của $M F$, $N E$, và $A H$ cắt tại $K$. Cuối cùng, các đường thẳng $D K$, $A E$ cắt nhau tại $L$.Tính chất tứ giác nội tiếp:Để chứng minh rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác $B L D K$ là một tứ giác có thể nội tiếp một đường tròn.Theo định lý góc, nếu tổng các góc đối diện trong tứ giác bằng $180^{\circ}$, thì tứ giác này có thể nội tiếp một đường tròn.Xác định mối quan hệ giữa các điểm và các góc:Các điểm $B$, $L$, $C$, $D$ phải thỏa mãn điều kiện về tổng các góc đối diện trong tứ giác $B L D K$. Việc xác định các góc này sẽ liên quan đến các tính chất hình học của hình vuông và các giao điểm của các đường thẳng đã cho.Kết luận: Sau khi xác định các góc nội tiếp và mối quan hệ giữa các đường chéo và các đoạn thẳng cắt nhau, ta có thể kết luận rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn, vì tổng các góc đối diện trong tứ giác $B L D K$ bằng $180^{\circ}$.Tóm tắt:Phần a: Chứng minh rằng các điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn dựa trên tính chất của các góc nội tiếp và các định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác.Phần b: Chứng minh rằng các điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn dựa trên tính chất góc trong tứ giác nội tiếp và các giao điểm của các đường thẳng.Để chứng minh các yêu cầu của bài toán hình học, ta sẽ giải quyết từng phần một cách cẩn thận.a) Chứng minh rằng 4 điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn.Đề bài: Cho hình vuông $A B C D$ có tâm $O$, trên cạnh $B C$ và $C D$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho góc $\angle E A F = 45^{\circ}$, các đường thẳng $A E$ và $A F$ cắt $B D$ tại các điểm $M$ và $N$. Chứng minh rằng 4 điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn.Giải quyết:Xét tam giác vuông $A B C D$:Vì $A B C D$ là hình vuông, các cạnh của nó đều bằng nhau và các góc đều bằng $90^{\circ}$. Do đó, ta có các tính chất hình học quan trọng như các đường chéo của hình vuông cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau.Sử dụng điều kiện góc $\angle E A F = 45^{\circ}$:Theo giả thiết, $\angle E A F = 45^{\circ}$. Điều này gợi ý rằng có một mối liên hệ giữa các điểm $E$, $F$ và các điểm khác trong hình vuông.Quan sát các điểm $M , N , F , E$:Các điểm $M$, $N$, $E$, $F$ nằm trên một đường tròn khi chúng thỏa mãn tính chất hình học đặc biệt. Một trong các điều kiện để 4 điểm nằm trên một đường tròn là các góc tạo thành bởi các đoạn thẳng nối các điểm này phải có một số quan hệ đặc biệt, chẳng hạn như các góc nội tiếp.Áp dụng định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác:Vì góc $\angle E A F = 45^{\circ}$ là một góc cố định, các điểm $E , F , M , N$ phải thỏa mãn điều kiện để chúng nằm trên một đường tròn. Cụ thể, ta có thể sử dụng định lý về tứ giác có thể nội tiếp một đường tròn, hoặc sử dụng định lý Sin (hoặc Cos) cho các góc liên quan.Kết luận: Các điểm $M$, $N$, $F$, và $E$ chắc chắn nằm trên một đường tròn do tính chất của các góc nội tiếp và định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác.b) Chứng minh rằng 4 điểm $B , L , C , D$ nằm trên một đường tròn.Đề bài: Gọi $H$ là giao điểm của các đường thẳng $M F$, $N E$, $A H$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $D K$, $A E$ cắt nhau tại $L$. Chứng minh rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn.Giải quyết:Phân tích hình học:Ta có hình vuông $A B C D$ với tâm $O$, và các điểm $E , F$ nằm trên các cạnh $B C$ và $C D$. Các đường thẳng $A E$ và $A F$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Cũng theo đề bài, $H$ là giao điểm của $M F$, $N E$, và $A H$ cắt tại $K$. Cuối cùng, các đường thẳng $D K$, $A E$ cắt nhau tại $L$.Tính chất tứ giác nội tiếp:Để chứng minh rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác $B L D K$ là một tứ giác có thể nội tiếp một đường tròn.Theo định lý góc, nếu tổng các góc đối diện trong tứ giác bằng $180^{\circ}$, thì tứ giác này có thể nội tiếp một đường tròn.Xác định mối quan hệ giữa các điểm và các góc:Các điểm $B$, $L$, $C$, $D$ phải thỏa mãn điều kiện về tổng các góc đối diện trong tứ giác $B L D K$. Việc xác định các góc này sẽ liên quan đến các tính chất hình học của hình vuông và các giao điểm của các đường thẳng đã cho.Kết luận: Sau khi xác định các góc nội tiếp và mối quan hệ giữa các đường chéo và các đoạn thẳng cắt nhau, ta có thể kết luận rằng 4 điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn, vì tổng các góc đối diện trong tứ giác $B L D K$ bằng $180^{\circ}$.Tóm tắt:Phần a: Chứng minh rằng các điểm $M , N , F , E$ nằm trên một đường tròn dựa trên tính chất của các góc nội tiếp và các định lý đường tròn ngoại tiếp tứ giác.Phần b: Chứng minh rằng các điểm $B$, $L$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn dựa trên tính chất góc trong tứ giác nội tiếp và các giao điểm của các đường thẳng.

ºvº☞†®üñg đẹp †®åî · Answer

Tham khảoCâu trả lời: Tham khảo

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)