Ta có hình vuông ABCD với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB, lấy điểm M (0 < MB < MA), và trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho góc MON = 90 độ. Gọi E là giao điểm của AN với DC, và gọi K là giao điểm của ON với BE. Qua K, vẽ đường thẳng song song với OM cắt BC tại H.
Để chứng minh KC/KB + KN/KH + CN/BH = 1, ta sẽ sử dụng các thông tin sau:
Tam giác MON vuông tại O (do góc MON = 90 độ):
Ta có: MN = MO + ON (theo định lý Pythagoras).
Vì OM song song với KH, nên ta có: MN/KH = MO/OK.
Tam giác MOK và tam giác NOH đồng dạng (do có hai góc bằng nhau):
Ta có: MO/OK = NO/NH.
Tam giác NOH vuông tại N (do góc MON = 90 độ):
Ta có: NH = NO + OH (theo định lý Pythagoras).
Bây giờ, ta sẽ kết hợp các thông tin trên:
Từ (1) và (2), ta có: MN/KH = NO/NH.
Từ (3), ta có: NO/NH = 1 - OH/NH.
Kết hợp hai phương trình trên, ta có:
MN/KH = 1 - OH/NH ⇒ MN/KH + OH/NH = 1
Nhưng MN/KH = KC/KB và OH/NH = CN/BH, nên ta có:
KC/KB + CN/BH = 1
Vậy ta đã chứng minh được KC/KB + KN/KH + CN/BH = 1.
