Question

 

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật

  

Answer 1

a: Xét ΔDAB có M,N lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>MN là đường trung bình

=>MN//AB và \(MN=\dfrac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có P,Q lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>PQ là đường trung bình

=>PQ//AB và \(PQ=\dfrac{AB}{2}\)

Xét hình thang ABCD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MQ là đường trung bình

=>MQ//AB//CD và \(MQ=\dfrac{AB+CD}{2}\)

MQ//AB

MN//AB

Do đó: M,N,Q thẳng hàng(1)

PQ//AB

MQ//AB

Do đó: M,P,Q thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra M,N,P,Q thẳng hàng

b: Gọi O là giao của AC và BD

Xét ΔABD và ΔBAC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔABD=ΔBAC

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\)

=>OA=OB

OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và AC=BD

nên OC=OD

Xét ΔOCD có NP//DC
nên \(\dfrac{ON}{OD}=\dfrac{OP}{OC}\)

mà OD=OC

nên ON=OP

ON+OB=BN

OA+OP=AP

mà ON=OP và OA=OB

nên BN=AP

Xét hình thang ABPN có PA=BN

nên ABPN là hình thang cân