Question

Cho hình thang ABCD (AB song song với CD, AB khác CD) có O là giao điểm của AC và BD , I là giao điểm của AD và BC . Đường thẳng OI cắt AB,CD thứ tự tại M,N .

       a.Chứng minh M là trung điểm của AB , N là trung điểm của CD .

Answer 1

a: Xét ΔIDN có AM//DN

nên \(\frac{AM}{DN}=\frac{IM}{IN}\) (1)

Xét ΔINC có MB//NC

nên \(\frac{MB}{NC}=\frac{IM}{IN}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AM}{DN}=\frac{BM}{NC}\)

Xét ΔOAM và ΔOCN có

\(\hat{OAM}=\hat{OCN}\) (hai góc so le trong, AM//CN)

\(\hat{AOM}=\hat{CON}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAM~ΔOCN

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OM}{ON}=\frac{AM}{CN}\left(3\right)\)

Xét ΔOMB và ΔOND có

\(\hat{OMB}=\hat{OND}\) (hai góc so le trong, BM//DN)

\(\hat{MOB}=\hat{NOD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOMB~ΔOND

=>\(\frac{OM}{ON}=\frac{MB}{ND}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{MB}{ND}=\frac{AM}{CN}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{AM}{CN}=\frac{MB}{ND}=\frac{AM+MB}{CN+ND}=\frac{AB}{CD}\) (5)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{AM}{DN}=\frac{BM}{CN}=\frac{AM+BM}{DN+CN}=\frac{AB}{CD}\) (6)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{AM}{CN}=\frac{AM}{DN};\frac{MB}{ND}=\frac{BM}{CN}\)

=>CN=DN

=>N là trung điểm của DC

Ta có: \(\frac{AM}{CN}=\frac{MB}{DN}\)

mà CN=DN

nên AM=MB

=>M là trung điểm của AB